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Mathyeux

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Borne sup non atteinte

Soit A une partie de R majorée et on note M=supA. On suppose que M∉A. Démontrer que, pour tout ε>0, l'intervalle ]M−ε,M[ contient une infinité d'éléments de A.

Voila ce que je propose:
en utilisant la caractérisation du sup par les epsilon, on a $\forall \veps>0,\ \exists x\in A,\ x\geq M-\veps$ avec M la borne sup de A. Or epsilon est un réel fixe, il y a donc toujours possibilité de le faire plus petit, par exemple en le divisant par 10. On aura alors  M-$\veps$/10 un réel qui est à la fois compris dans ]M−ε,M[ (puisque epsilon/10 est non nul et plus petit que l'epsilon décrivant l'intervalle) et dans A car la caractérisation de la borne sup s'applique pour tout epsilon positif. On a donc montré que quel que soit epsilon reel positif, il y a toujours moyen de placer un réel de A dans l'intervalle, donc cet intervalle contient une infinité d'éléments de A

J'aimerais savoir si ma proposition de démonstration tient la route...

Merci d'avance

Mathieu

Paco del Rey

Invité

Re : Borne sup non atteinte

Je corrige :

Bonsoir Mathyeux.

L'idée est bonne. La rédaction laisse à désirer.

Tu vas construire deux suites [tex](a_n)_{n\in\mathbb N}[/tex] et [tex](\epsilon_n)_{n\in\mathbb N}[/tex] telles que
[tex]\epsilon_0=\epsilon[/tex]
[tex]\forall n\in\mathbb N[/tex],  [tex]a_n\in A[/tex],
[tex]\forall n\in\mathbb N[/tex], [tex]M-\epsilon_{n+1} < a_{n+1} < M-\epsilon_{n} < a_{n} < M [/tex],
[tex](a_n)_{n\in\mathbb N}[/tex] est strictement croissante.

Paco del Rey

Zebulor

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Re : Borne sup non atteinte

Bonsoir,
autre idée : raisonner par l'absurde en partant de la supposition qu'à $\varepsilon$ fixé l'intervalle ]M−ε,M[ contient un nombre fini d'éléments de A, pour aboutir à une contradiction.
En posant $x_m$ le plus grand de ces éléments de ]M−ε,M[, on a : $\exists \varepsilon'>0, \forall  x\in A,\ x\lt x_m \lt M-\varepsilon'$, ce qui contredit une caractérisation du Sup, car l'ensemble ]M−ε',M[ ne contient pas d'éléments de A

Dernière modification par Zebulor (27-07-2021 09:55:22)

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Mathyeux

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Re : Borne sup non atteinte

Bonsoir et merci pour vos réponses

Paco del Rey j'ai du mal à comprendre ta proposition, notamment cette partie où tu dis que $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ est strictement croissante mais que tu dis aussi $ a_{n+1} < M-\epsilon_{n} < a_{n}$, ce qui défini $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ comme décroissante. Mais même sans cela je ne comprends pas en quoi cela démontre que ]M−ε,M[ contient un nombre infini d'éléments de A.

Mathieu

Paco del Rey

Invité

Re : Borne sup non atteinte

Tu as raison.

Je corrige ma correction (j'ai inversé les indices):

Tu vas construire par récurrence deux suites [tex](a_n)_{n\in\mathbb N}[/tex] et [tex](\epsilon_n)_{n\in\mathbb N}[/tex] telles que
[tex]\epsilon_0=\epsilon[/tex]
[tex]\forall n\in\mathbb N[/tex],  [tex]a_n\in A[/tex],
[tex]\forall n\in\mathbb N[/tex], [tex]M-\epsilon_{n} < a_{n} < M-\epsilon_{n+1} < a_{n+1} < M [/tex].

La suite [tex](a_n)_{n\in\mathbb N}[/tex] est strictement croissante, donc injective. Son image est

de même cardinal que [tex]\mathbb N[/tex]
incluse dans [tex]A[/tex]

On trouve donc dans [tex]A[/tex] une partie infinie (l'image de la suite [tex](a_n)_{n\in\mathbb N}[/tex]).

Paco.

Mathyeux

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Re : Borne sup non atteinte

C'est plus clair merci!

bonne soirée

Mathieu

bridgslam

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Re : Borne sup non atteinte

Bonjour,

On peut dire aussi sous un angle plus topologique que M est un point adhérent à A, qui n'appartient pas à A, donc un point d'accumulation de A.
Tout voisinage V de M, donc en fait tout voisinage  à gauche de M (puisque à droite son intersection avec A est vide )
contient donc une infinité d'éléments de A.
C'est blanc bonnet et bonnet blanc.

Alain

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."