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bibmgb

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Théorème-définition nombres complexes

Bonjour,
Dans le cours de Christophe Bertault Cours Complexes sur les nombres complexes en mpsi, il commence par dire "On admet momentanément l'existence d'un ensemble C tel que ..."
Ma question est naïve mais que signifie "démontrer l'existence d'un tel ensemble" ?
Merci.

Michel Coste

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Re : Théorème-définition nombres complexes

Bonjour,
"Démontrer l'existence" peut vouloir dire construire à partir de quelque chose supposé déjà à notre disposition, par exemple $\mathbb R$. En fait, pratiquement, l'auteur construit $\mathbb C$ comme l'ensemble des couples de réels $(a,b)$ (avec $i=(0,1)$) muni des opérations (addition et multiplication) que l'on connaît.

DeGeer

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Re : Théorème-définition nombres complexes

Bonjour
Une manière simple de définir les nombres complexes est d'utiliser les matrices réelles $\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\
0 & 1 \end{array} \right)$  et $\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\
-1 & 0 \end{array} \right)$ en appelant $1_{\mathbb{C}}$ la première matrice et $i$ la seconde. Mais cette méthode n'est pas accessible en début de mpsi, quand il faut introduire les nombres complexes.

Dernière modification par DeGeer (08-01-2025 17:46:57)

bibmgb

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Re : Théorème-définition nombres complexes

Bonjour,
Merci pour vos réponses.
L'auteur décrit les éléments de l'ensemble et les opérations sur ces éléments. Il s'agit alors de définitions. Que doit-il concrètement démontrer pour affirmer l'existence de l'ensemble qu'il décrit ?

DeGeer

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Re : Théorème-définition nombres complexes

Pour démontrer l'existence du corps des nombres complexes, on peut en expliciter une construction. Il y a plusieurs possibilités. Par exemple, on peut définir le corps des nombres complexes comme la sous-algèbre de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ engendrée par les deux matrices de mon message précédent, après avoir démontré que cette sous-algèbre est un corps dans lequel s'injecte $\mathbb{R}$.
On peut aussi définir $\mathbb{C}$ comme le corps de décomposition du polynôme $X^2+1$ dans $\mathbb{R}[X]$.

Michel Coste

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Re : Théorème-définition nombres complexes

Et, comme je l'ai écrit plus haut, on peut tout simplement définir la $\mathbb R$-algèbre $\mathbb C$ comme le $\mathbb R$-espace vectoriel $\mathbb R^2$ muni de la multipliication $(a,b)\times (c,d)= (ac-bd, ad+bc)$. On se dépêche bien sûr de poser $i=(0,1)$ et d'identifier $a$ à $(a,0)$ (vu que $(1,0)$ est l'élément neutre de la multiplication), de sorte que $(a,b)=a+ib$.

Dernière modification par Michel Coste (20-01-2025 17:05:44)

bibmgb

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Re : Théorème-définition nombres complexes

Bonjour,
Je vais essayer d'être un peu plus claire dans ma question, et je sais qu'elle est très naïve.
Concernant la proposition d'identifier [tex]a+ib[/tex] au couple de réels [tex](a,b)[/tex] avec le produit particulier [tex](a,b)\times (c,d)=(ac-bd,ad+bc)[/tex], on comprend bien alors que [tex]\mathbb{C}[/tex] se définit comme une [tex]\mathbb{R}[/tex]-algèbre à partir d'un [tex]\mathbb{R}[/tex]-espace vectoriel connu [tex]\mathbb{R}^2[/tex].
Mais pourquoi a-t-on besoin de faire ça ? Est-il possible de ne pas partir de quelque chose de connu, de prendre la définition telle qu'elle est donnée dans le cours susnommé ? Que faudrait-il alors faire pour prouver son existence ? Qu'est-ce qui peut bloquer l'existence d'un nouvel ensemble ?

Dernière modification par bibmgb (Hier 16:11:45)

DeGeer

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Re : Théorème-définition nombres complexes

On peut définir par les axiomes une théorie des corps algébriquement clos de caractéristique nulle (c'est-à-dire les axiomes qui définissent un corps, plus les axiomes pour dire que la caractéristique est nulle et que le corps est algébriquement clos). Une construction de $\mathbb{C}$ comme celles qui ont été données ici en constitue un modèle.