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Lyonnais_de_Lyon

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Algèbre tensorielle

Bonjour,

J'ai un exercice dans lequel j'ai deux vecteurs et un tenseur. Les deux vecteurs sont : [tex] \vec{e_o} =  \left\lvert
\begin{matrix}
sin \phi \\
-cos \phi \\
0
\end{matrix}
\right \rvert [/tex]
et [tex] \vec{e_\theta} =  \left\lvert
\begin{matrix}
-cos\phi cos\theta \\
-sin \phi cos \theta\\
sin \theta
\end{matrix}
\right \rvert [/tex].

Comment est-ce que je fais pour calculer par exemple  [tex]\vec{e_o} \otimes \vec{e_\theta}[/tex] svp ? Et quelle est la forme du tenseur résultant ?

J'avais une autre question avec le tenseur  [tex]\chi[/tex]. C'est un tenseur d'ordre 3 qui comporte [tex]3^3[/tex] composantes. [tex]\chi = \left\lvert
\begin{matrix}
\chi_{XXX} & \chi_{XXY}& \chi_{XXZ} \\
\chi_{XYX} & \chi_{XYY} & \chi_{XXY} \\
.  & . & .\\
. & . & . \\
. & . & . \\
\chi_{ZZX} & \chi_{ZZY} & \chi_{ZZZ}
\end{matrix}
\right \rvert [/tex].
Comment est-ce que je peux faire pour calculer [tex]\vec{e_x} \cdot \chi[/tex] svp ? Si [tex]\vec{e_x} =  \left\lvert
\begin{matrix}
1 \\
0\\
0
\end{matrix}
\right \rvert [/tex].
Et surtout comment est-ce que je peux faire pour calculer [tex]\vec{e_x} \cdot \chi (\vec{e_o} \otimes \vec{e_\theta}) [/tex] svp ?

Eust_4che

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Re : Algèbre tensorielle

Bonjour,

Le problème, en tout cas pour moi, et c'est la raison pour laquelle j'ai pas répondu, est qu'il est là question de tenseurs "au sens physique" et non des tenseurs "au sens mathématiques", ie des objets vérifiant des propriétés de changement de coordonnés, et pas des éléments du produit tensoriel de deux espaces vectoriels (ou de deux modules). J'ai cru comprendre que le produit tensoriel de deux espaces vectoriels de dimension finie permet d'obtenir des tenseurs "au sens physique", mais je n'ai pas l'expertise suffisante pour l'exprimer clairement. Surtout je n'ai pas compris le définition de la "forme du tenseur". Et je pense que c'est le cas de bcp de monde ici (de formation mathématicienne et non physicienne).

Si je comprend qu'il est question du produit tensoriel $\textbf{R}^3 \otimes \textbf{R}^3$ de $\textbf{R}^3$ par lui-même, je dirais que pour calculer $\overrightarrow{e_o} \otimes \overrightarrow{e_\theta}$, il suffit de distribuer les coefficients pour obtenir une combinaison linéaire de $\overrightarrow{e_i} \otimes \overrightarrow{e_j}$ pour $i, j = 1, 2, 3$. Mais je ne sais pas qu'elle est la forme du tenseur résultante.

Comme je ne sais pas ce qu'est un tenseur d'ordre 3, je ne peux pas t'aider plus...

E.

Zebulor

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Re : Algèbre tensorielle

Bonsoir,
d'après mes souvenirs de cours de mécanique, un tenseur d'ordre 0 est un scalaire, d'ordre 1 un vecteur colonne, d'ordre 2 une matrice, d'ordre 3 une sorte de super matrice sous forme de cube...
J'avais appris que le produit de deux tenseurs d'ordre $m$ et $n$ est un tenseur d'ordre $m+n-2$, si bien que ton premier calcul , - à savoir le produit de deux vecteurs colonnes -,  devrait être un nombre (ou scalaire)
Tout cela est un peu vague et c'est tout ce dont je me souviens de mes cours, alors c'est à prendre avec des pincettes.

Dernière modification par Zebulor (05-01-2025 07:54:59)

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

bridgslam

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Re : Algèbre tensorielle

Bonjour,

Pour diminuer de 2 la somme des ordres des deux tenseurs, je crois qu'il s'agit du produit contracté (1 fois).
Sinon c'est la somme des ordres , m+n de chaque tenseur.
Il me semble que le produit de ses vecteurs à 3 dimensions est représenté par une matrice 3x3 $(u_i v_j)$ , matrice des produits des composantes des vecteurs u et v.
Hélas je ne suis pas un expert en tenseurs non plus.
(à une époque, j'avais juste étudié la construction universelle pour passer d'une forme bilinéaire à une forme linéaire rendant commutatif un diagramme fléché).
Il y a pas mal de littérature sur le sujet via Internet, purement mathématique, ou orientée , voire vulgarisée, vers la physique.
Un document bien fait, à destination des physiciens, d'Olivier Castera , était disponible sur la toile.

A

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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Roro

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Re : Algèbre tensorielle

Bonjour,

Sans être spécialiste, je vais donner mon avis - les physiciens ou autres connaisseurs me corrigeront ou répondront mieux !

Il existe plusieurs façons de faire des produits de tenseurs.

Le produit tensoriel "classique" permet de construire un tenseur d'ordre $p+q$ avec un tenseur d'ordre $p$ et d'un tenseur d'ordre $q$. Par exemple si $u$ et $v$ sont deux vecteurs représentant des tenseurs d'ordre $1$ dans une base donnée alors le produit tensoriel qu'on note $u\otimes v$ sera le tenseur représenté par la matrice de coefficients $(u\otimes v)_{ij} = u_iv_j$.

On peut aussi faire des produits contractés en sommant sur certains indices.

Le plus simple est celui souvent noté sans rien, ou avec un point, comme par exemple $u\cdot v$ dans l'exemple précédent. Pour revenir à cet exemple, il correspond au produit scalaire un tenseur d'ordre $0$ donné par $u\cdot v = \sum_{k} u_kv_k$. Un exemple du même type avec des tenseurs d'ordre $2$, représentés par des matrices, donne le produit matriciel usuel : $(AB)_{ij} = \sum_{k} A_{ik}v_{kj}$. Le produit contracté d'un tenseur d'ordre $p$ et d'un tenseur d'ordre $q$ fournit un tenseur d'ordre $p+q-2$.

Un peu plus complexe est celui contracté deux fois : par exemple $(A:B)_{ij} = \sum_{ij} A_{ij}v_{ij}$. Dans ce cas le produit doublement contracté d'un tenseur d'ordre $p$ et d'un tenseur d'ordre $q$ fournit un tenseur d'ordre $p+q-4$.

Bonjour,

Comment est-ce que je fais pour calculer par exemple  [tex]\vec{e_o} \otimes \vec{e_\theta}[/tex] svp ? Et quelle est la forme du tenseur résultant ?

Je dirais que tu obtiens un tenseur d'ordre 2 : $(u\otimes v)_{ij} = u_iv_j$

J'avais une autre question avec le tenseur  [tex]\chi[/tex]. C'est un tenseur d'ordre 3.
Et surtout comment est-ce que je peux faire pour calculer [tex]\vec{e_x} \cdot \chi (\vec{e_o} \otimes \vec{e_\theta}) [/tex] svp ?

D'abord $\vec{e_x} \cdot \chi$ est un tenseur d'ordre $2$ de composante  $(\vec{e_x} \cdot \chi)_{ij} = \sum_k \vec{e_x}_k \cdot \chi_{kij}$.

De même $\vec{e_o} \otimes \vec{e_\theta}$ est aussi un tenseur d'ordre $2$ : $(\vec{e_o} \otimes \vec{e_\theta})_{ij} = \vec{e_o}_i \vec{e_\theta}_j$.

Puis tu fais un produit de ces deux tenseurs comme un produit matriciel (tu obtiens donc finalement un tenseur d'ordre $2$.

Roro.

Dernière modification par Roro (05-01-2025 19:22:02)

Lyonnais_de_Lyon

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Messages : 5

Re : Algèbre tensorielle

Autant pour moi je n'avais pas compris que c'était une algèbre à la sauce physicienne. Mais merci beaucoup pour vos réponses @Roro,  @bridgslam, @zebulor, @Eust_4che !

J'ai comparé vos méthodes à celles que donnait mon prof pour avoir [tex]\overrightarrow{e_0}\chi  \overrightarrow{e_\theta} \otimes \overrightarrow{e_\theta}[/tex] dans le cas où seules les élements de [tex]\chi[/tex] suivant [tex]\chi _{XYZ} = \chi_{XZY} = \chi_{YXZ} = \chi_{YZX} =\chi_{ZXY} = \chi_{ZYX} = \chi_{0} et \chi_{ZZZ}[/tex] sont non nuls.
J'ai remplacé [tex]\overrightarrow{e_x}[/tex] par [tex]\overrightarrow{e_\theta}[/tex]. Avec la formule de mon prof j'ai [tex]\overrightarrow{e_0}\chi  \overrightarrow{e_\theta} \otimes \overrightarrow{e_\theta} = \sum_{i=X,Y,Z} \sum_{j =X,Y,Z et k = X,Y,Z} e_{0,i}\chi_{ijk}e_{\theta,j}e_{\theta,k} = \chi_{0} sin(2\theta) cos(2\phi)[/tex].
Le résultat doit être un scalaire apparemment.

Et avec la méthode de @Roro j'ai : [tex] \overrightarrow{e_{\theta}} \otimes \overrightarrow{e_{\theta}} = \begin{pmatrix}
cos^2\phi cos ^2 \theta & cos\phi sin\phi cos^2\theta & -cos \phi cos\theta sin\theta\\
cos\phi sin\phi cos^2\theta & sin^2\phi cos^2\theta & -sin \phi cos \theta sin \theta \\
-cos\phi cos\theta sin\theta & -sin \phi cos \theta sin \theta & sin^2 \theta
\end{pmatrix}[/tex]
Et
[tex] \overrightarrow{e_0}\chi = \begin{pmatrix}
0 & 0 & - cos \phi \chi_{YXZ}\\
0 & 0 & sin \phi \chi_{XYZ} \\
- cos \phi \chi_{YZX} & sin \phi \chi_{XZY} & 0 
\end{pmatrix}[/tex].
Je retrouve bien exactement le même résultat si je fais la somme des produits terme à terme des deux matrices ! Merci beaucoup !