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cailloux

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Médianes et construction

Bonjour à tous,
On donne les 3 points $A',B',C'$ intersections des médianes d'un triangle $ABC$ avec son cercle circonscrit (autres que $A,B,C$).
On demande de construire le ou les triangles $ABC$ solution(s).
Quelques commentaires :
- j'ai posé la question il y a une quinzaine d'années. A l'époque je n'avais pas de solution mais une bonne âme (un géomètre de première force) m'a sorti d'affaire.
- si on remplace le mot "médianes" par "hauteurs" ou "bissectrices", le problème est relativement facile. Avec les médianes, c'est une autre chanson ...
- les beaux problèmes de géométrie consistent, à mon sens, en allers-retours permanents entre figures et petits calculs. L'aller, tout le monde sait à peu près faire. Les retours qui consistent à interpréter des calculs pour donner une belle construction sont souvent ignorés ...
- dans ce sous forum des "beaux problèmes de géométrie", je suppose que tout le monde sait ce que le verbe "construire" veut dire.
Bonnes recherches !

Bernard-maths

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Re : Médianes et construction

Bonjour cailloux !

Ton problème n'est pas évident ... je cherche ...

Et celui là ?

Cordialement, B-m

Dernière modification par Bernard-maths (11-12-2024 15:00:17)

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Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
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cailloux

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Re : Médianes et construction

Bonjour Bernard-maths,
Pas "évident" : c'est vrai. Je reviendrai sur ce problème d'ici quelques jours si personne n'a donné de solutions.
Ta figure ? Je ne sais pas : un hélicoïde ? Autre ?

Dernière modification par cailloux (11-12-2024 15:41:44)

Bernard-maths

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Re : Médianes et construction

Bonjour,

c'est la figure moche en "hélicoîde" :

Je fais tourner alpha0 avec z ...

@+

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Bernard-maths

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Re : Médianes et construction

Bonjour !

J'ai fait un dessin, et par déplacements successifs, j'arrive à trouver un triangle solution. Mais pas d'idée sur une démo !

A, B et C sont les inter des médianes avec le cercle circonscrit. Je place au pif les points D, E et F sommet du triangle cherché, de sorte que les 3 médianes se coupent en G.

Ensuite je déplace A, B et C pour que "les médianes" passent par les milieux H, I et J des côtés !

On peut trouver plusieurs "solutions" !

@+

Dernière modification par Bernard-maths (11-12-2024 17:28:57)

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cailloux

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Re : Médianes et construction

Re bonjour,

On peut trouver plusieurs "solutions" !

Exact. C'est pourquoi j'avais édité mon précédent message pour ajouter un "s" à solution. C'est en soi une indication (minuscule, j'en conviens).

cailloux

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Re : Médianes et construction

Bonjour,
Un début de solution :

▼Texte caché

Soit $G$ le centre de gravité d'un triangle $ABC$ cherché et $p$ sa puissance (négative) par rapport au cercle circonscrit.
L'inversion de pôle $G$ et de puissance $p$ laisse le cercle circonscrit globalement invariant.
En conséquence les points $A$ et $A'$, $B$ et $B'$, $C$ et $C'$ s'échangent dans cette inversion.
On a les relations vectorielles :
$$\begin{cases}\overrightarrow{GA}=p\,\dfrac{\overrightarrow{GA'}}{GA'^2}\\\overrightarrow{GB}=p\,\dfrac{\overrightarrow{GB'}}{GB'^2}\\\overrightarrow{GC}=p\,\dfrac{\overrightarrow{GC'}}{GC'^2}\end{cases}$$
et compte tenu que $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$, on obtient :
$$\dfrac{\overrightarrow{GA'}}{GA'^2}+\dfrac{\overrightarrow{GB'}}{GB'^2}+\dfrac{\overrightarrow{GC'}}{GC'^2}=\overrightarrow{0}$$
On passe aux affixes dans le plan complexe $A'(a'),B'(b'),C'(c')$ et $G(z)$ pour obtenir presque immédiatement :
$$\dfrac{1}{z-a'}+\dfrac{1}{z-b'}+\dfrac{1}{z-c'}=0$$
On sait (ou plutôt on savait à une époque maintenant révolue $^*$) qu'il s'agit de l'équation du second degré dont les solutions sont les affixes des foyers de l'ellipse de Steiner inscrite dans le triangle $A'B'C'$.
D'où cette figure avec les deux (en général) triangles solutions du problème.

$^*$ Si on ne sait pas, on le démontre!
On est la la moitié du chemin : il reste à construire les foyers de l'ellipse de Steiner inscrite d'un triangle donné.

Rescassol

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Re : Médianes et construction

Bonjour,

Les foyers sont les racines du polynôme dérivé de $P(z)=(z-a)(z-b)(z-c)$ (théorème de Marden).
Une autre propriété: les points de Lemoine des triangles $ABC$ et $A'B'C'$ sont alignés avec $G$.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (14-12-2024 17:16:43)

cailloux

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Re : Médianes et construction

Bonjour Rescassol et merci pour ton intervention.

Les foyers sont les racines du polynôme dérivé de $P(z)=(z-a)(z-b)(z-c)$ (théorème de Marden).

Je connaissais ce théorème de Marden. Que ce soit avec lui ou avec ce que j'ai écrit, on aboutit à la même équation du second degré. Avec tes notations habituelles (en conservant les "primes" pour être cohérent) :
$$3z^2-2s'_1z+s'_2=0$$
Mais je dois bien avouer que je ne sais plus très bien où est l’œuf et où est la poule ...

Une autre propriété : les points de Lemoine des triangles $ABC$ et $A′B′C′$ sont alignés avec $G$.

Ça, je découvre et je vais y regarder de près ...
Il reste que je dois choisir parmi les multiples constructions des foyers de l'ellipse de Steiner inscrite dans un triangle donné.
J'ai la mienne un peu "obscure" qui n'est peut-être pas la meilleure.
Évidemment je n'invente rien : je dois ce que j'écris ici à un ami commun qui se fait rare en ce moment.

Rescassol

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Re : Médianes et construction

Bonsoir,

Dans Géogébra, on peut construire l'ellipse à partir des milieux des côtés et de ceux des segments $[GA']$ etc...
Il y a ensuite la commande "Foyer".
Géogébra sait aussi résoudre une équation du second degré.

Cordialement,
Rescassol
PS: Notre ami commun serait-il P...s ? Il s'est quand même connecté le 12 décembre.

cailloux

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Re : Médianes et construction

Bien sûr Rescassol ! Ma dernière figure a été réalisée avec GeoGebra exactement de la manière que tu suggères (conique passant par 5 points et foyers).
Mais j'ai l'impression que tu regardes plus ou moins volontairement "ailleurs".
En introduction, j'avais pris la peine d'écrire :

- dans ce sous forum des "beaux problèmes de géométrie", je suppose que tout le monde sait ce que le verbe "construire" veut dire.

Je suis vieux jeu et tu m'obliges à préciser : règle et compas.
P.S. Oui pour notre ami commun. Qui d'autre ?

cailloux

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Re : Médianes et construction

Bonjour à tous,
Les constructions des foyers de l'ellipse de Steiner inscrite d'un triangle $ABC$ donné sont souvent basées sur le fait que ces foyers sont isogonaux de milieu $G$ centre de gravité du triangle.
En voici une autre, relativement simple, qui part de l'équation du second degré déjà mentionnée $3z^2-2s_1z+s_2=0$ où $s_1=a+b+c$,  $s_2=ab+bc+ca$ et $O$ centre du cercle circonscrit est l'origine du repère orthonormé utilisé dans le plan complexe.
Je ne pense pas qu'il soit encore utile de "cacher".

$O$ est le centre du cercle circonscrit et $G$ le centre de gravité.
Les symétriques de la droite d'Euler par rapport aux côtés du triangle $ABC$ sont concourantes en $O'$ (à l'intention de Rescassol s'il repasse par ici, ils s'agit de $X(110)$ dans l'ETC).
Les droites $\Delta$ et $\delta$ sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle $(\overrightarrow{GO},\overrightarrow{GO'})$
Le reste se lit aisément sur la figure.
Bien sûr, tout est à justifier ...

Dernière modification par cailloux (15-12-2024 18:34:16)

Rescassol

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Re : Médianes et construction

Bonsoir,

Je connais le point de Kiepert $X_{110}=\dfrac{s_2}{s_1}$ qui fait partie de ma collection, mais je ne vois pas comment tu traces ton cercle. Il passe par $O$ et $O'=X_{110}$, mais où est "le" troisième point ?

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (15-12-2024 19:58:53)

cailloux

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Re : Médianes et construction

Bonjour Rescassol,
Oui c'est justement parce que l'affixe de $X_{110}$ est $\dfrac{s_2}{s_1}$ que je l'ai utilisé. Il semble tomber un peu ici comme un cheveu sur la soupe mais pas du tout.
Quant au cercle, il passe non seulement par $O$ et $O'=X_{110}$ mais aussi par leurs symétriques $o$ et $o'$ par rapport à la bissectrice extérieure $\delta$ de l'angle $(\overrightarrow{GO},\overrightarrow{GO'})$
Amicalement.

Rescassol

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Re : Médianes et construction

Bonsoir,

Oui, d'accord, il fallait trouver ces symétriques sans avoir la bissectrice.
Finalement, ça donne:

%  Foyers de l'ellipse de Steiner inscrite - 15 Décembre 2024

clc, clear all

syms s1 s2 s3

s1B=s2/s3; s2B=s1/s3; s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

syms z zB

g=s1/3; gB=s1B/3; % Centre de gravité
x110=s2/s1; x110B=s2B/s1B; % Point de Kiepert X_110

Nul=Distance2PointDroite(z,0,g,zB,0,gB)-Distance2PointDroite(z,g,x110,zB,gB,x110B);
Eq1=collect(numden(Factor(Nul/(s3*s1^3-s2^3))),[z zB])
% On trouve:
Eq1=3*(-s2^2+3*s1*s3)*z^2 - 3*s3^2*(-s1^2+3*s2)*zB^2 - 2*s1*(-s2^2+3*s1*s3)*z + 2*s2*s3*(-s1^2+3*s2)*zB + (s1^3*s3-s2^3);
% Eq1=0 est l'équation des deux bissectrices

%-----------------------------------------------------------------------

% gB*z-g*zB=0 (donc zB=gB*z/g) et dist(g,z)=dist(g,x110)

Nul=numden(Factor((g-z)*(gB-gB*z/g)-(g-x110)*(gB-x110B)))
% 3*s2^2*z^2 - 2*s1*s2^2*z + s1^3*s3 - 3*s1*s2*s3 + s2^3 = 0
Delta=Factor((s1*s2^2)^2-3*s2^2*(s1^3*s3 - 3*s1*s2*s3 + s2^3))
Delta=s2^2*(s1^2-3*s2)*(s2^2-3*s1*s3)
d2=(s1^2-3*s2)*(s2^2-3*s1*s3)
syms d % Delta=(s2*d)^2
% z1=(s1*s2^2-s2*d)/(3*s2^2) donc:
z1=(s1*s2-d)/(3*s2); z2=(s1*s2+d)/(3*s2);
z1B=gB*z1/g; z2B=gB*z2/g;

[j jB R2]=CercleTroisPoints(0,x110,z1,0,x110B,z1B);
Eq2=numden(Factor((z-j)*(zB-jB)-R2));
% On trouve:
Eq2=3*(s1^3*s3-s2^3)*z*zB + s1*(-s1^2*s2+3*s2^2 + d*s1)*z - s2*(3*s1^2*s3-s1*s2^2 + d*s2)*zB;
% Eq2=0 est l'équation du cercle

%-----------------------------------------------------------------------

Eq=Factor(resultant(Eq1,Eq2,zB)/(s1^3*s3-s2^3));
Eq=Factor(subs(Eq,d^2,d2))
% Ô Miracle !! 3*z^2 - 2*s1*z + s2 est en facteur
 

Cordialement,
Rescassol

cailloux

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Re : Médianes et construction

Bonsoir Rescassol,
Tout d'abord merci pour tes calculs. Je n'avais aucun doute : tu justifierais la figure à ta manière.
D'abord une mini critique; je ne comprends pas ceci :

Oui, d'accord, il fallait trouver ces symétriques sans avoir la bissectrice.

Sur la figure, la bissectrice extérieure $\delta$ et les symétriques $o$ et $o'$ sont bel et bien là (et commentés/codifiés).
C'est un point de détail sans grande importance.
J'en viens au principal où je confonds allègrement affixes et images par fainéantise :

Ô Miracle !!

Il y en a deux; le premier, le tien, peut s'expliquer. Je ne suis par arrivé à cette construction (règle et compas) par hasard :
je la dois à notre ami commun.
On construit les solutions de l'équation $z^2-2az+b=0$ où ici $a=\dfrac{s_1}{3}$ et $b=\dfrac{s_2}{3}$ ($a$ et $b$ sont des complexes tels que $b^2\not=a$ pour avoir des solutions distinctes).
Pour ce faire, on considère la transformation $f:\,z\mapsto \dfrac{az-b}{z-a}$
On constate que $f\circ f=Id$ et que ses points fixes sont les solutions de l'équation initiale.
$f$ est une involution appelée dans le jargon de la géométrie circulaire, une transposition circulaire.
Ses points limites objet et image sont confondus en $a$ (ici l'affixe de $G$). Il reste à construire ses points fixes ce que j'ai fait avec la figure précédente.
On a besoin d'un point et de son image. Quoi de plus simple que de choisir l'origine $O$ du repère. Son image $O'$ a pour affixe $\dfrac{b}{a}$ soit $\dfrac{s_2}{s_1}$ dans notre cas qui explique l'apparition saugrenue de $X_{110}$ facilement constructible.
Je n'insiste pas. Ce sujet à lui seul mériterait un nouveau fil. J'hésite ...
Le second Miracle et pas le moindre : je pense avoir compris ton code !
Amicalement.
P.S. Dans le cas général il est très simple de construire le point d'affixe $\dfrac{b}{a}$ (image de l'origine du repère) lorsque $a$ et $b$ sont donnés via le point $I$ d'affixe $1$ et des triangles semblables.

Dernière modification par cailloux (16-12-2024 00:00:52)

Rescassol

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Re : Médianes et construction

Bonsoir,

Je voulais dire qu'à aucun moment, je n'ai eu l'équation d'une bissectrice.
Par contre, ce que j'appelle Eq1 est une équation du second degré qui représente la conique dégénérée de la réunion des deux bissectrices. Ça m'a suffi pour continuer.

Cordialement,
Rescassol

cailloux

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Re : Médianes et construction

Bonjour,
Merci Rescassol : je n'avais pas compris à quoi tu faisais allusion.
A tous, pour comprendre la dernière figure :
La transposition circulaire $f:\,z\mapsto \dfrac{s_1z-s_2}{3z-s_1}$ peut-être décomposée de la manière suivante :
$f=\tau\circ\sigma=\sigma\circ\tau$ où :
$\tau$ est l'inversion de pôle $G$ et de puissance $GF_1^2=GF_2^2$ (son cercle d'inversion est le cercle de centre $G$ passant par $F_1$ et $F_2$)
$\sigma$ est la réflexion d'axe $\Delta$ (la droite $(F_1F_2)$)
On peut par exemple vérifier que $f(O)=O'$ via GeoGebra et que les foyers sont des points fixes.
[Edit] Une mini remarque destinée aux lycéens au sujet de l'équation du second degré $3z^2-2s_1z+s_2=0$ :
Une racine double lorsque $s_1^2-3s_2=0$; les foyers de l'ellipse sont confondus en $G$; l'ellipse est le cercle inscrit d'un triangle équilatéral.
On retrouve immédiatement la caractérisation d'un triangle équilatéral : $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$ sur laquelle peinent les chères têtes blondes.

Dernière modification par cailloux (17-12-2024 16:20:47)

cailloux

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Re : Médianes et construction

Bonjour à tous,
Comme je l'écrivais plus haut, il existe de nombreuses constructions des foyers de l'ellipse de Steiner inscrite d'un triangle $ABC$ donné.
En voici une autre totalement différente quant aux principes utilisés :

- $A',B',C'$ sont les milieux des côtés du triangle $ABC$ et $G$ son centre de gravité.
- $T$ est l'isogonal de $G$ relativement au triangle $ABC$.
- $A''$ est le second point d'intersection de la droite $(AT)$ et du cercle $AB'C'$.
- La médiatrice de $[AA'']$ coupe la bissectrice extérieure $\delta$ de $(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GA''})$ en $\Omega$.
- Le cercle de centre $\Omega$ passant par $A$ et $A''$ recoupe la bissectrice intérieure $\Delta$ de  $(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GA''})$ en les foyers cherchés.
Encore une fois, tout est à justifier.
Si notre ami Rescassol n'est pas trop occupé en ces périodes de fêtes ...
[Edit] Dans le plan complexe, il s'agit de construire les points $M$ d'affixe $z$ tels que $z^2=\dfrac{a^2-bc}{3}$ compte tenu que $a+b+c=0$
L'origine du repère au centre de gravité : Morley doit se retourner dans sa tombe !
Très bon Noël à tous !

Dernière modification par cailloux (24-12-2024 23:33:04)

Rescassol

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Re : Médianes et construction

Bonsoir,

Pour le moment, Champagne !! On verra demain...
Joyeux Noël à tous.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (25-12-2024 00:28:28)

Rescassol

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Re : Médianes et construction

Bonjour,

%  Foyers de l'ellipse de Steiner inscrite - 25 Décembre 2024

clc, clear all

syms a b c

aB=1/a; bB=1/b; cB=1/c;

s1=a+b+c; s2=a*b+b*c+c*a; s3=a*b*c;
s1B=s2/s3; s2B=s1/s3; s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

syms z zB

ap=(b+c)/2; bp=(c+a)/2; cp=(a+b)/2; % Milieux A',B',C' des côtéd de ABC
apB=(bB+cB)/2; bpB=(cB+aB)/2; cpB=(aB+bB)/2;

g=s1/3; gB=s1B/3; % Centre de gravité
k=2*(s2^2-3*s1*s3)/(s1*s2-9*s3); % Point de Lemoine, isogonal de G
kB=2*(s2B^2-3*s1B*s3B)/(s1B*s2B-9*s3B);

syms t real

as=a+t*(k-a); asB=aB+t*(kB-aB); % Un point A" de (AK)
NulAs=Factor(Cocyclique(a,bp,cp,as,aB,bpB,cpB,asB)); % A" est sur le cercle (AB'C')
% On trouve
% (a*b+a*c-2*b*c)*(b-2*a+c)*t + a^2*b+a^2*c+a*b^2-6*a*b*c+a*c^2+b^2*c+b*c^2 = 0
t=-(a^2*b+a^2*c+a*b^2-6*a*b*c+a*c^2+b^2*c+b*c^2)/((a*b+a*c-2*b*c)*(b-2*a+c));
as=Factor(a+t*(k-a)); asB=Factor(aB+t*(kB-aB));  % as=(-a^2+b*c)/(b-2*a+c)

[pmed qmed rmed]=Mediatrice(a,as,aB,asB); % Médiatrice de [AA"]
Fact=a*(a*b+a*c-2*b*c)*(b-2*a+c)/((a-b)*(a-c)); % Facteur de simplification
pmed=Factor(Fact*pmed); % pmed=b-2*a+c
qmed=Factor(Fact*qmed); % qmed=a*(a*b+a*c-2*b*c)
rmed=Factor(Fact*rmed); % rmed=(a-b)*(a-c)

Nul=Distance2PointDroite(z,g,a,zB,gB,aB)-Distance2PointDroite(z,g,as,zB,gB,asB);
Fact=(a-b)*(a-c)*(b-c)^2*(-a^2+b*c);  % Facteur de simplification
Eq1=collect(numden(Factor(Nul/Fact)),[z zB]); % On trouve, après un coup de FracSym:
Eq1=3*(s2^2-3*s1*s3)*z^2 - 3*s3^2*(s1^2-3*s2)*zB^2 - 2*s1*(s2^2-3*s1*s3)*z + 2*s2*s3*(s1^2-3*s2)*zB + (s2^3-s3*s1^3);
% Eq1=0 est l'équation des deux bissectrices de (GA,GA")

% On élimine zB entre Eq1 et la médiatrice de [AA"]
Eq=Factor(resultant(Eq1,pmed*z+qmed*zB+rmed,zB));
X=SimplifieBary(coeffs(Eq,z,'All'));
Delta=Factor(X(2)^2/4-X(1)*X(3));
% On trouve Delta=(s1^2-3*s2)*(s2^2-3*s1*s3)*(a*b+a*c-2*b*c)^2
syms d % d^2=(s1^2-3*s2)*(s2^2-3*s1*s3)
Omega=Factor((-X(2)/2+(a*b+a*c-2*b*c)*d)/X(1))
OmegaB=Factor(-(pmed*Omega+rmed)/qmed);
% Omega1=-((s2-3*b*c)*d + 9*s2*s3+s1*s2^2-6*s1^2*s3)/(3*(b*c*(s1^2-3*s2) + 3*s1*s3-s2^2))
% et Omega2 avec -d

% Cercle de centre Omega passant par A
Eq2=numden(Factor((z-Omega)*(zB-OmegaB)-(a-Omega)*(aB-OmegaB)))
% On élimine zB entre Eq1 et ce cercle
Fact=a^2*(b-c)^2*(-a^2+b*c)*(s2^2-3*s1*s3);  % Facteur de simplification
Eq=Factor(resultant(Eq1,Eq2,zB)/Fact);
Eq=Factor(subs(Eq,d^2,(s1^2-3*s2)*(s2^2-3*s1*s3))) ; % On connaît d^2
% Re-Miracle !! 3*z^2 - 2*s1*z + s2 est encore en facteur dans Eq
 

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (25-12-2024 17:47:36)

cailloux

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Re : Médianes et construction

Bonne nuit à tous et en particulier à Rescassol,
Grand merci pour ces nouveaux calculs qui se terminent de la meilleure manière qui soit :

% Re-Miracle !! 3*z^2 - 2*s1*z + s2 est encore en facteur dans Eq

Le "Re-Miracle !!" m'a bien amusé ...
Merci aussi pour avoir signalé que mon point $T$ était le point de Lemoine de $ABC$. J'avais pensé l'écrire puis totalement oublié en cours de route.
A ce sujet, une question : les notations habituelles de ce point font en général état d'un point $K$. Je me suis toujours demandé pourquoi ...
Entendons-nous bien :
J'ai  toujours considéré que les calculs  étaient nécessaires indispensables pour faire de la "belle géométrie".
Mais aussi que les constructions géométriques (règle et compas) en faisaient partie aussi.
Avec un peu d'avance, meilleurs vœux pour 2025.
Amicalement.