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EchecEtMat64

Invité

Calcul espérance d'une loi exponentielle

Bonsoir à tous,

Étant bientôt en période de partiels, je m'entraîne via d'anciens sujets en "Statitistique et probabilités".
Dans l'un d'entre eux, je dois trouver l'espérance d'une variable aléatoire Y qui est le min entre X (v.a de loi expo) et T une constante.

Malheureusement, je ne comprends pas la correction du sujet.

Pour la 1ère partie de la solution aucun soucis, je sais comment faire une intégration par partie, en revanche je ne comprends pas pourquoi [tex]ET1{X1≥T} = T\exp^{−λT}[/tex]. Je ne comprends pas pourquoi on n'utilise pas la fonction de densité dans ce cas, et au contraire pourquoi on utilise la fonction de répartition ?

Merci d'avance pour votre aide.

Michel Coste

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Re : Calcul espérance d'une loi exponentielle

Bonsoir,
L'espérance de $T\mathbf1_{\{X_1\geq T\}}$ est $T$ multiplié par la probabilité que $X_1\geq T$.
Je ne comprends pas ton écriiture [tex]ET1{X1≥T} = T\exp^{−λT}[/tex]. Que veux tu dire ? Est-ce que tu penserais que $e^{-\lambda T}$ est plus grand que 1 ?

EchecEtMat64

Invité

Re : Calcul espérance d'une loi exponentielle

Re,

Vraiment navré j'ai mal écrit mon Latex.

Je voulais écrire : [tex]E[X_{1}\mathbb{1}_{X_{1} \le T}] = Te^{-λT}[/tex]

En fait je ne comprends pas comment on obtient cette égalité. Si vous pouvez éclairer ma lanterne, merci

EchecEtMat64

Invité

Re : Calcul espérance d'une loi exponentielle

Juste petite correction : c'est X plus grand ou égal à T et non l'inverse...

Michel Coste

Membre

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Re : Calcul espérance d'une loi exponentielle

C'est de $\mathbb E( T\mathbf1_{X_1\geq T})$ qu'il s'agit, et je t'ai déjà expliqué le calcul de cette espérance. Je recommence : $T$ est une constante, donc cette espérance est $T$ fois $\mathbb E( \mathbf1_{\{X_1\geq T\}})$, qui est la probabilité que $X_1\geq T$ ; je suppose que tu connais cette probabilité ?

EchecEtMat64

Invité

Re : Calcul espérance d'une loi exponentielle

Merci beaucoup pour votre explication, je comprends mieux maintenant !