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idoumou malick

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derivée partielle

je fais appel à vous pour m'éclairer sur certains "détails" du calcul de la dérivée partielle de f(x)=min(x,y²)

on trace la courbe $\Gamma$ d'équation $y²=x$ et on délimite le plan en deux domaines
$U=\{(x,y) I x<y²\}$ ( à gauche de l'axe des ordonnées)  et  = \{(x,y) I x>y²\}$
(domaine à l'intérieur de la parabole qui est symétrique à l'axe des abscisses positives)

**si on pose $(x0,y0)\in U$ alors $f(x) = x$  et donc
        $\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial x} = 1 $  et
        $\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial y} = 0$
**si on pose $(x0,y0)\in V$ alors $f(x) = y²$  et donc
        $\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial x} =0 $  et
        $\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial y} =2y0$
** si $(x_0,y_0)  \in \Gamma$ c'est à dire que $x_0 = y²_0$

$\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial x}= lim   \frac{1}{t} (f(x_0+t,y_0) - f(x_0,y_0))$  lorsque $ t\longrightarrow 0$
on le calcule pour $t > 0 \Rightarrow \frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial x}=\frac{1}{t} (y²_0 - y²_0) = 0$
on le calcule pour $t< 0  \Rightarrow \frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial x} = \frac{1}{t} ( x_0+t - x_0) = 1$

on en déduit que $\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial x}$ n 'est pas définie

Première question : pourquoi l'avoir calculé pour t>0 et t<0?

Pour la deuxième dérivée partielle

$\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial y}= lim   \frac{1}{t} (f(x_0,y_0+t) - f(x_0,y_0))$  lorsque  $t\longrightarrow 0$
on considère deux cas
** si $y_0\neq0$  et $t$ du signe de $y_0$    : $ \frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial y}=\frac{1}{t} (x_0 - x_0)= 0$

** si maintenant $t$ est de signe opposé à ce lui de $y_0$  :  $\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial y}=\frac{1}{t} ( (y_0+t)² - y²_0) = 2y_0 +t$

on en déduit que $\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial y}$ n 'est pas définie

** si $y_0 =0$  alors $x_0=0$ alors pour tout $t\neq0$

$\frac{1}{t}(f(0,0+t) - f(0,0)=0$ donc   $\frac{\partial f (0,0)}{\partial y}=0$

Deuxième question: je ne comprend pas la méthode pour $\frac{\partial f }{\partial y}$ différente de $\frac{\partial f }{\partial x}$
Merci pour les réponses que vous pourrez m'apporter

[Edit Fred : il faut mettre ton code LaTeX entre dollars, sinon il n'est pas interprété ! ]

Dernière modification par Fred (01-12-2024 20:27:46)

bridgslam

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Re : derivée partielle

Bonsoir,

Je pense qu'il s'agit de f(x,y) et non f(x) dans vos écritures, il y a des coquilles.

Pour la première question il faut bien distinguer si quand x varie à y constant au voisinage de $(x_0, y_0)$,  (x,y) est dans U pu dans V, d'où les deux cas pour le signe de t.

Un bon schéma en dessinant la parabole et tout s'éclairera je pense par rapport aux diverses situations, par exemple au point origine, dans la direction x il faut distinguer deux cas, dans la direction y le point reste toujours à gauche de la parabole.

L'analyse de la représentation en 3d permet de visualiser la gouttière en forme de parabole ( en coupe yOz) , biseautée par un plan z=x. La projection de l'intersection sur xOy est évidemment la parabole qui conditionne la fonction (post suivant pour le graphique...).

Observer la ligne de "pliage", qui provoque quelques soucis de dérivées partielles (sauf selon y au début de la "gouttière... où on reste à "plat").
A.

Dernière modification par bridgslam (05-12-2024 10:37:58)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

bridgslam

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Re : derivée partielle

Bonjour,

Une vue avec le plan xoy au fond de la boite ...

La projection de la limite de la gouttière sur le fond xOy est la parabole qui conditionne la valeur du minimum de x et y au carré.

Bonne journée

Alain

Dernière modification par bridgslam (05-12-2024 10:40:42)

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