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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 24-11-2024 18:09:10
- Dilueur
- Membre
- Inscription : 24-11-2024
- Messages : 5
Difficultés pour trouver les points d'intersection de 2 courbes
Bonjour,
J'ai 2 fonctions :
f(x) = 2x + 2^x
g(x) = 2x • 2^x
Je veux connaître les points d'intersection de ces 2 courbes avec l'axe des abscisses, ainsi que les points d'intersection de ces courbes entre elles.
Pour les points d'intersection des courbes avec l'axe des abscisses, j'ai pu trouver :
f(x) = 0, soit 2x + 2^x = 0
Je me suis aidé de la fonction W de Lambert.
x = -W(ln2/2)/ln2
Je ne prends que la racine réelle
x(W0) = -0,38333235...
x(W1) me renvoyant une racine complexe
g(x) = 0, soit 2x • 2^x = 0
Une seule racine : x = 0
Maintenant, pour connaître les points d'intersection des 2 courbes :
f(x) = g(x), soit 2x + 2^x = 2x • 2^x
c'est une autre paire de manches...
Voilà un moment que je bataille sans trouver de solutions.
Quand les 2 courbes sont tracées sur le logiciel que j'utilise, f(x) coupe bien l'axe des abscisses en -0,383 et g(x) en 0. Les 2 courbes se croisent en 2 points :
x= -0,742658 | y = -0,887680
x= 1 | y= 4
Comment s'y prendre pour retrouver ces derniers résultats ?
Merci d'avance pour toute réponse.
Dernière modification par Dilueur (27-11-2024 19:53:34)
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#2 25-11-2024 07:48:03
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 250
Re : Difficultés pour trouver les points d'intersection de 2 courbes
Bonjour
En étudiant la fonction f-g, on doit pouvoir prouver que l'équation f(x)-g(x)=0 admet exactement deux solutions. Il y a une solution évidente. Pour l'autre solution on ne peut peut-être pas faire mieux que chercher une valeur approchée ou utiliser une fonction spéciale mais je ne vois pas laquelle.
F.
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#4 26-11-2024 09:59:49
- jelobreuil
- Membre
- Lieu : 17250 Pont-l'Abbé d'Arnoult
- Inscription : 14-09-2023
- Messages : 143
Re : Difficultés pour trouver les points d'intersection de 2 courbes
Bonjour,
une idée comme ça : il me semble bien que 2x.2^x = x.2^(x+1), non ?
Mais je ne sais pas si cela peut débloquer la question ...
Cordialement, JLB
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#5 26-11-2024 15:16:09
- Michel Coste
- Membre
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 211
Re : Difficultés pour trouver les points d'intersection de 2 courbes
Bonjour,
Et si on met l'équation $f(x)=g(x)$ sous la forme
$$\frac{x}{\sqrt2} = \left(x-\frac12\right) 2^{x-\frac12}\;,$$
ça t'aide ?
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#6 03-12-2024 16:27:00
- Dilueur
- Membre
- Inscription : 24-11-2024
- Messages : 5
Re : Difficultés pour trouver les points d'intersection de 2 courbes
Bonjour,
Merci pour vos réponses.
Jelobreuil,
2x.2^x, peut en effet s'écrire x.2^(x+1), mais je n'ai pas réussi pour autant à débloquer la situation.
Michel Coste,
Je ne sais pas comment vous êtes arrivé à cette élégante solution (si vous pouviez la développer, ce serait instructif, en tout cas pour moi), qui aurait été parfaite s'il n'y avait pas eu de x à gauche de l'égalité. Sans ce x, c'était gagné via Lambert. Mais peut-être est-il impossible de résoudre ce problème au moyen de la fonction W de Lambert.
Bonne journée à tous.
Dernière modification par Dilueur (03-12-2024 16:30:41)
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#7 03-12-2024 16:53:05
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 188
Re : Difficultés pour trouver les points d'intersection de 2 courbes
Bonjour,
Je ne sais pas comment vous êtes arrivé à cette élégante solution (si vous pouviez la développer, ce serait instructif, en tout cas pour moi)
@Dilueur : en divisant membre à membre par 2 l'équation de départ :
$x+2^{x-1}=x2^{x}$ d'où $x=x2^{x}-2^{x-1}=2^x(x-\frac {1}{2})$ ...
Dernière modification par Zebulor (05-12-2024 13:27:55)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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