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Bourquard

Invité

Calcul de limite avec une intégrale

Bonjour à tous !
Actuellement en licence 3 de mathématiques, j'ai un devoir à rendre qui comporte cette limite et je ne vois pas du tout comment la calculer.

limite lorsque n tend vers + l'infini de l'intégrale de 0 à n de (cosx)^^n(1-x/n)^^n dx

En espérant que vous ayez des astuces.
Bonne journée à vous.

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 188

Re : Calcul de limite avec une intégrale

Bonjour,

je crois comprendre que c'est $\lim\limits_{n \to +\infty} \int_0^{n}\,\cos(x)^{n(1-\frac {x}{n})^n}\,dx$ ?

Merci de confirmer ou pas.

Dernière modification par yoshi (03-12-2024 14:02:06)

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Bourquard

Invité

Re : Calcul de limite avec une intégrale

la quantité (1-x/n)^^n est en facteur et non en exposant.
Au temps pour moi, je m'étais trompé.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 250

Re : Calcul de limite avec une intégrale

Bonjour,

  Il va falloir appliquer le théorème de convergence dominée.
Pour cela, on peut se ramener à une intégrale sur $[0,+\infty[$ en posant $f_n(x)=\mathbf 1_{[0,n]}(x) (\cos(x))^n \left(1-\frac xn\right)^n.$

Le théorème de convergence dominée porte très bien son nom. Il faut  :
1. étudier la convergence : sais-tu quelle est la limite  de $f_n(x)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ (disons pour les $x$ tels que $\cos(x)\neq \pm 1$) ?
2. dominer : ici, trouver une fonction $g$ intégrable sur $[0,+\infty[$ telle que, pour tout $x\geq 0$ et tout $n\geq 1,$ $|f_n(x)|\leq g(x)$.

Je te donne deux conseils pour continuer :
* écrire $\left(1-\frac xn\right)^n$ sous forme exponentielle / logarithme.
* utiliser une inégalité classique concernant la fonction logarithme.

F.