Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Kosmonostro

Membre

Inscription : 01-12-2024

Messages : 1

Parité et fonctions continues par morceaux

Bonjour à toutes et à tous,
J'ai un coincement très gênant sur la partié.
Dans un livre pour BTS 2eme année, au chapitre série de Fourier, il y a beaucoup de fonctions définies par morceaux, or très souvent, il y a ce cas là:

Soit f Pi-périodique, continue par morceaux sur les réels et définie par :
f(x) = -3 pour x appartenant à [0 ; Pi/2[
f(x) = 3 pour x appartenant à [Pi/2 ; Pi[.
L'énoncé affirme que la fonction est impaire.

Or, très simplement, si j'étudie la parité sur l'intervalle symétrique par rapport à 0 : I = [-Pi/2 ; Pi/2], je constate que :
f(-Pi/2) = f(-Pi/2 + Pi) = f(Pi/2) = 3 ; ce qui contredit l'imparité avec deux opposés pour lesquels : f(-Pi/2) = f(Pi/2) = 3.

Et partout où le livre affirme que les fonctions sont paires ou impaires lorsqu'elles sont continues par morceaux, je trouve ce type d'écueil sur les points de discontinuité.

À l'aide, parce qu'il me semble que c'est bien moi qui ne comprends pas quelque chose !

Merci infiniment !

bridgslam

Membre

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 587

Re : Parité et fonctions continues par morceaux

Bonjour,

De toute façon f(0) est non nul, sans chercher plus loin...
Ce n'est pas possible pour une fonction impaire définie en 0.

Bonne a-m
A

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 676

Re : Parité et fonctions continues par morceaux

Bonjour,

bridgslam a bien entendu raison, mais si on "oublie" ce qui semble être une erreur et si tu définis $f$ par
$$\left\{ \begin{aligned}
& f(x)=-3  \quad \text{pour $0<x<\pi/2$}\\
& f(x)=3  \quad \text{pour $\pi/2<x<\pi$}
\end{aligned}\right.$$
alors tu peux la prolonger sur $\mathbb R$ (de façon unique) pour qu'elle soit $\pi$-périodique... et en particulier tu devras imposer $f(0)=0$ et $f(pi/2)=0$.

Tu noteras aussi que, dans l'étude des séries de Fourier, beaucoup de choses se font à l'aide d'intégrales et que ces changements en quelques points ne modifieront pas les calculs... Autrement dit, la série de Fourier de la fonction dont tu parlais (qui n'est pas impaire) sera exactement la même que la fonction que je viens de définir.

Roro.