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#1 28-11-2024 10:27:31
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 227
$f\circ f^*=f^2$
Bonjour,
Une fois n'est pas coutume, je sollicite le forum pour l'exercice suivant : soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $f\in\mathcal L(E)$ tel que $f\circ f^*=f^2.$ Démontrer que $f=f^*$.
Je crois que je sais faire l'exercice (peut-être même par deux méthodes différentes), mais aucune des deux ne me convient. Quelqu'un saurait-il le résoudre avec une preuve "élégante" et qui n'utilise pas la réduction des endomorphismes autoadjoints ?
Fred.
Hors ligne
#2 28-11-2024 14:24:34
- Glozi
- Invité
Re : $f\circ f^*=f^2$
Bonjour,
Prenons $A$ la matrice de $f$ dans une base orthonormale de $E$. Alors tu veux montrer $AA^*=A^2 \Rightarrow A=A^*$
Je rappelle que la norme de Frobenius sur les matrices est issue du produit scalaire $\left<A,B \right>=Tr(AB^*)$
On a $\Vert A - A^*\Vert_F^2 = Tr(AA^*) + Tr(A^*A)-2Tr(A^2) =0$ sous ton hypothèse. Du coup, $A=A^*$.
Sinon autre solution :
L'énoncé est evident lorsque $f$ est inversible.
Sinon, la relation $ff^*=f^2$ permet de montrer que $Ker(f) = Ker(f^*)$ (par exemple, si $x\in Ker(f)$, alors calculer la norme de $f^*(x)$...)
Notons $G$ le supplementaire orthogonal à $Ker(f)$ dans $E$ si on montre que $G$ est stable par $f$ alors $f_G$ sera un endo inversible qui verifiera la meme relation que $f$ et on aura la conclusion. Mais si $x\in G$ et $h\in Ker(f)=Ker(f^*)$ alors $\left<f(x),h\right> =\left<x,f^*(h)\right> =0$ donc c'est bon !
Bonne journée
#4 29-11-2024 10:02:50
- Glozi
- Invité
Re : $f\circ f^*=f^2$
Bonjour,
Pas de soucis, la première methode à l'avantage d'être courte et efficace mais est plus "astucieuse". Je préfère la seconde qui pour moi est plus "methodique' (pour moi mon premier réflexe a été de dire que si $f$ est inversible alors c'est bon, du coup essayer de se ramener à ce cas inversible).
Bonne journée
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