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bibmgb

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Justifier une croissance comparée

Bonjour,
Je cherche à justifier [tex]\dfrac{e^{-nx}}{n+1}\rightarrow +\infty[/tex] quand [tex]n\rightarrow +\infty[/tex] et [tex]x<0[/tex].
Je me demande ce qui est attendu par un correcteur. La "référence" est me semble-t-il [tex]\dfrac{
e^x}{x^n}\rightarrow +\infty[/tex] quand [tex]x\rightarrow +\infty[/tex] et [tex]n[/tex] est un entier.

Je souhaiterais savoir si la manière de rédiger ci-dessous est correcte et "standard" :
On pose [tex]X=-nx[/tex] donc [tex]\dfrac{e^{-nx}}{n+1}=-x\dfrac{e^X}{X-x}[/tex]. De plus [tex]X-x\underset{+\infty}{\sim} X[/tex] donc [tex]-x\dfrac{e^X}{X-x}\underset{+\infty}{\sim} -x\dfrac{e^X}{X}[/tex] donc [tex]\underset{X\rightarrow +\infty}{\lim}-x\dfrac{e^X}{X-x}=\underset{X\rightarrow +\infty}{\lim}-x\dfrac{e^X}{X}=+\infty[/tex].

Merci pour vos remarques sur la rédaction.

Fred

Administrateur

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Re : Justifier une croissance comparée

Bonjour,

  Ta rédaction m'embête un peu, notamment quand tu écris $X-x\sim_{+\infty}X$. Qui tend vers $+\infty$ dans cette histoire ? J'imagine que c'est $n,$ mais il n'apparaît même pas !

A mon avis, ce serait mieux de partir de $\lim_{n\to+\infty}\frac{a^n}n={+\infty}$ dès que $a>1$. Et ici avec  $a=e^{-x},$ c'est très facile.

F.