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Matos2403c

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Borne inférieure d'une somme

Bonjour, je bloque un peu sur la deuxième question de cet exo et j'aimerais bien qu'on m'aide un peu là-dessus.

Il s'agit de déterminer l'inf de A={(x₁+...+x_n)(1/x₁+...+1/x_n)/(x₁,...,x_n)∈(ℝ^*+)ⁿ}.

1)montrer que ∀x_i,x_j>0, x_i/x_j+x_j/x_i≥2.
2)trouver infA pour n≥1 fixé.

en développant la somme je trouve que S=(1+...+1)+(x₁/x₂+...+x_n/x_n-1)=n+B. Je n'arrive pas à trouver la valeur de B. Chaque quantité est minorée par 2 mais je bloque ici.

Merci beaucoup.

bridgslam

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Re : Borne inférieure d'une somme

Bonsoir,

Développer l'expression en distinguant les cas i = j, du contraire. Vous devez trouver un minorant qui ne dépend que de n.
Il suffit de minorer B, et de rassembler l'expression totale.
En donnant des valeurs bien choisies aux $x_i$, montrer que ce minorant est atteint, c'est donc mieux qu'un inf, c'est un minimum.

Bonne soirée

A.

Dernière modification par bridgslam (07-11-2024 19:38:16)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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Matos2403c

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Re : Borne inférieure d'une somme

Bonsoir,

merci énormément pour votre réponse. Désolée si c'est une question stupide mais en fait est-il possible que i soit égale à j? parce que j'ai trouvé que dans tous les termes de la somme B i est strictement inférieur à j.

Bonne soirée à vous.

Dernière modification par Matos2403c (07-11-2024 21:06:05)

bridgslam

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Re : Borne inférieure d'une somme

Bonsoir,

Les termes de la somme avec i=j sont ceux que vous ajoutez à B. En écrivant (1+ ... +1) ça ne veut rien dire, sans préciser combien de 1 sont dans cette somme.
Les autres, ceux de B selon votre écriture, sont à écrire aussi de façon moins ambigüe, ce qui permet de trouver un minorant de B, donc ensuite de la somme globale, en utilisant la question 1.
Notamment le 1/ incite à indicer B sur toutes les paires {i,j} à deux éléments...
L' exercice n'est pas difficile mais demande de la clarté et un peu de méthode.
Bon courage

A.

Dernière modification par bridgslam (07-11-2024 22:12:54)

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bridgslam

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Re : Borne inférieure d'une somme

Bonsoir,

On peut noter aussi ( directement ) que les $x_i$ et leurs inverses sont des carrés, et appliquer du même coup l'inégalité de Cauchy-Schwartz, si on connaît, qui donne aussitôt l'inégalité ad hoc.

A.

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Matos2403c

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Re : Borne inférieure d'une somme

Bonjour,

J'ai rassemblé les éléments de B en paires (x_i/x_j+x_j/x_i)_i<j. J'avoue avoir cependant encore du mal à déterminer le nombre de ces paquets (L_i)_{i∈{1,...n-1}} minorés par 2 chacun. Il me faut déterminer le nombre de ces paires pour exploiter la 1^ère question de minoration par 2.

Ensuite je pourrais écrire que (x₁+...+x_n)(1/x₁+...+1/x_n)≥n+2p où p est le nombre de paires supérieures ou égales à 2. Je m'excuse si ce que je demande est trivial mais je n'arrive clairement pas à trouver p.

merci pour vos réponses détaillées. Je n'ai pas encore accès à l'inégalité de Cauchy-Schwartz mais en cherchant sur le net je suis tombée sur un exo consistant à montrer que (x₁+...+x_n)(1/x₁+...+1/x_n)≥n² ce qui résout le problème et montre que p=n(n-1)/2 mais j'aimerais bien comprendre la suite du 1^er cheminement.

Bonne soirée.

Dernière modification par Matos2403c (09-11-2024 21:15:02)

Matos2403c

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Re : Borne inférieure d'une somme

Dans ce cas là x₁=...=x_n=1 implique n² est un max.

bridgslam

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Re : Borne inférieure d'une somme

Bonjour,

Combien de paires {i,j} y-a-t-il  dans {1,..., n} ? C'est un dénombrement élémentaire, sinon vous pouvez regarder ce qui se passe sur un tableau de couples...

A.

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Matos2403c

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Re : Borne inférieure d'une somme

Bonjour,

il y a 2 parmi n soit n(n-1)/2. C'est très clair maintenant. Je vous remercie pour votre aide!

Bonne fin de journée.