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Sebastien90

Invité

Polynomes à plusieurs indéterminées.

Bonsoir,

Soit le polynôme réel suivant à plusieurs indéterminées, [tex]P[/tex], tel que,[tex]P(X,Y,Z,S,T)= (X+Z)(Y-X)^3+(T+ZY)(Y-X)^2+(S+ZT)(Y- X)+ZS[/tex].
Comment montrer que, [tex]P(X,Y,Z,S,T)=0 \ \Longrightarrow \ \begin{cases} X+Z = 0 \\ T+ZY =0 \\ S+ZT = 0 \\ ZS = 0 \end{cases}[/tex] ?

Merci d'avance pour votre aide.

Sebastien90

Invité

Re : Polynomes à plusieurs indéterminées.

En fait, j'arrive seulement à trouver pour [tex]ZS = 0[/tex]. En effet,
Pour, [tex]Y=X[/tex], on a,
[tex]P(X,Y,Z,S,T) = 0 \ \Longrightarrow \ P(X,X,Z,S,T) = 0 \ \Longrightarrow \ ZS = 0[/tex].

Sebastien90

Invité

Re : Polynomes à plusieurs indéterminées.

J'ai réussi même pour, [tex]S+ZT = 0[/tex]. En effet,
On a, [tex]P(X,Y,Z,S,T) = (X+Z)(Y-X)^3+(T+ZY)(Y-X)^2+(S+ZT)(Y- X) = 0[/tex].
Donc, [tex]P(X,Y,Z,S,T) = 0 \ \Longrightarrow \ \dfrac{P(X,Y,Z,S,T)}{(Y-X)} = Q(X,Y,Z,T) = (X+Z)(Y-X)^2+(T+ZY)(Y-X)+(S+ZT) = 0[/tex].
Pour, [tex]Y=X[/tex], on a,
[tex]Q(X,Y,Z,T) = (X+Z)(Y-X)^2+(T+ZY)(Y-X)+(S+ZT) = 0 \ \Longrightarrow \ Q(X,X,Z,S,T) = 0 \ \Longrightarrow \ S+ZT = 0 [/tex].
Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance.

Sebastien90

Invité

Re : Polynomes à plusieurs indéterminées.

J'ai réussi même pour, [tex]T+ZY = 0[/tex]. En effet,
On a, [tex]Q(X,Y,Z,S,T) = (X+Z)(Y-X)^2+(T+ZY)(Y-X) = 0[/tex].
Donc, [tex]Q(X,Y,Z,S,T) = 0 \ \Longrightarrow \ \dfrac{Q(X,Y,Z,S,T)}{(Y-X)} = R(X,Y,Z,T) = (X+Z)(Y-X)+(T+ZY) = 0[/tex].
Pour, [tex]X=Y[/tex], on a,
[tex]R(X,Y,Z,T) = (X+Z)(Y-X)+(T+ZY) = 0 \ \Longrightarrow \ R(Y,Y,Z,S,T) = 0 \ \Longrightarrow \ T+ZY = 0 [/tex].
Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance.

Sebastien90

Invité

Re : Polynomes à plusieurs indéterminées.

J'ai réussi même pour, [tex]X+Z = 0[/tex]. En effet,
On a, [tex]R(X,Y,Z,S,T) = (X+Z)(Y-X) = 0[/tex].
Donc, [tex]R(X,Y,Z,S,T) = 0 \ \Longrightarrow \ \dfrac{Q(X,Y,Z,S,T)}{(Y-X)} = H(X,Y,Z,T) = (X+Z) = 0[/tex].
D'où, [tex]X+Z = 0[/tex].
Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance.

Rescassol

Membre

Inscription : 19-09-2023

Messages : 178

Re : Polynomes à plusieurs indéterminées.

Bonjour,

Ça manque de quantificateurs

Cordialement,
Rescassol

bridgslam

Membre

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 504

Re : Polynomes à plusieurs indéterminées.

Bonjour,

J'ai réussi même pour, [tex]S+ZT = 0[/tex]. En effet,
On a, [tex]P(X,Y,Z,S,T) = (X+Z)(Y-X)^3+(T+ZY)(Y-X)^2+(S+ZT)(Y- X) = 0[/tex].
Donc, [tex]P(X,Y,Z,S,T) = 0 \ \Longrightarrow \ \dfrac{P(X,Y,Z,S,T)}{(Y-X)} = Q(X,Y,Z,T) = (X+Z)(Y-X)^2+(T+ZY)(Y-X)+(S+ZT) = 0[/tex].
Pour, [tex]Y=X[/tex], on a,
[tex]Q(X,Y,Z,T) = (X+Z)(Y-X)^2+(T+ZY)(Y-X)+(S+ZT) = 0 \ \Longrightarrow \ Q(X,X,Z,S,T) = 0 \ \Longrightarrow \ S+ZT = 0 [/tex].
Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance.

Impossible de faire Y=X dans Q, vous êtes sur un pôle de la fraction rationnelle Q.
Pour moi de ZS = 0 on a une impossibilité, donc le polynôme P n'est pas le polynôme nul.

A.

Dernière modification par bridgslam (11-11-2024 12:56:36)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."