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Borassus

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Représentation paramétrique d'une parabole

Bonjour à tous,

J'explique à mes élèves de Terminale qu'il n'y a pas que la droite dans l'espace qui peut faire l'objet d'une représentation paramétrique.
Je leur demande alors d'établir la représentation paramétrique d'une droite dans le plan $y = ax + b$ ou d'un cercle de centre $(x_0\,,\,y_0)$ et de rayon $R$, et parfois les initie au charme des courbes de Lissajoux (qui sont, au demeurant, un excellent exercice de trigonométrie pour repérer les points correspondant aux principales valeurs du paramètre).

J'aimerais savoir s'il est possible de déterminer une représentation paramétrique d'une parabole d'équation $y = ax²$ (pour commencer), en dehors, bien sûr, de la représentation triviale
[tex]\begin{cases}
x = t \\
y = at^2
\end{cases}[/tex]

Merci de votre participation à ce sujet.
Bonne journée

Dernière modification par Borassus (08-11-2024 10:35:42)

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
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Roro

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Re : Représentation paramétrique d'une parabole

Bonjour Borassus,

Tu peux assez facilement imaginer d'autres paramétrisations comme
$$\left\{ \begin{aligned} &x=s^3 \\ &y = as^6\end{aligned}\right.$$
mais tu te rends bien compte que c'est un peu de la triche.

En pratique, puisque tu veux toujours être sur la parabole, tu auras toujours $y=ax²$ donc si tu as un truc plus général, ce sera toujours de la forme
$$\left\{ \begin{aligned} &x=x(t) \\ &y = ax(t)^2\end{aligned}\right.$$
Evidemment tu peux sans doute trouver des expressions de $x(t)$ assez tordues pour ne pas reconnaitre directement $ax(t)²$ dans l'expression de $y(t)$...

Roro.

Dernière modification par Roro (08-11-2024 17:21:43)

cailloux

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Re : Représentation paramétrique d'une parabole

Bonjour,
Un petit complément qui ne retire rien à ce qu'a écrit Roro :
Dans un  certain repère, l'équation polaire d'une parabole est  $\rho(\theta )=\dfrac{p}{1+\cos\,\theta}$
qui donne immédiatement un système d'équations paramétriques :
$\begin{cases}x=\dfrac{p\,\cos\,\theta}{1+\cos\theta}\\y=\dfrac{p\,\sin\,\theta}{1+\cos\,\theta}\end{cases}$

Dernière modification par cailloux (08-11-2024 17:34:06)

Borassus

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Re : Représentation paramétrique d'une parabole

Bonsoir Roro, bonsoir Cailloux, bonsoir à tous,

Merci pour vos deux retours !

Et merciii, Cailloux, de ta solution ! C'est exactement ce que je souhaitais !
(J'avais l'intuition qu'il faut passer par l'équation polaire de la parabole, mais, devant partir tôt de chez moi, je n'ai pas eu la possibilité de chercher dans cette voie.)

Le système d'équations que tu évoques fournit une parabole à axe horizontal, orientée vers la gauche si p >0, et vers la droite si p < 0.

Pour obtenir une parabole verticale, il suffit d'intervertir les expressions de $x$ et $y$ :
$\begin{cases}x=\dfrac{p\,\sin\,\theta}{1+\cos\theta}\\y=\dfrac{p\,\cos\,\theta}{1+\cos\,\theta}\end{cases}$

Voici les deux courbes horizontale et verticale pour $p = 1$, avec $\theta$ variant de $-2,5$ à $2,75$. (C'est plus fun lorsque l'encadrement n'est pas symétrique.)

Sur les deux courbes, j'ai marqué le point de départ sur la courbe, le foyer et la directrice.

Rappel pour nos amis lycéens : une parabole est l'ensemble des points équidistants d'un point et d'une droite, le point étant appelé "foyer" et la droite étant appelée "directrice". (Observez par exemple sur la première figure les points $(0,1)$ et $(0,-1)$.) La distance algébrique entre la directrice et le foyer est le "paramètre" $p$ de la parabole.

Bonne soirée à tous.

Dernière modification par Borassus (08-11-2024 22:56:11)

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Borassus

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Re : Représentation paramétrique d'une parabole

Pour illustrer à quoi correspond le paramètre $\theta$, voici l'angle orienté entre l'axe de la parabole et le point de départ, le sommet de l'angle étant le foyer.

Sa valeur en radians est $-2,5$.

Pour le point $(0 \,,\,1)$, la valeur du paramètre est égale à $\dfrac{\pi}{2}$.

La valeur $\theta = 0$ correspond au sommet de la parabole, qui a pour coordonnées $\left(\dfrac {1}{2},0\right)$.

Dernière modification par Borassus (08-11-2024 22:56:53)

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cailloux

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Re : Représentation paramétrique d'une parabole

Bonsoir Borassus,
Bien sûr :

intervertir les expressions de $x$ et $y$

revient à faire une symétrie par rapport à la première bissectrice et donc à "redresser" une parabole d'axe horizontal.
Il reste que les coniques et les paraboles en particulier ont été correctement décrites par un certain Apollonius de Perge il y a plus de deux mille ans. Puis Descartes (et ses équations cartésiennes) est passé par là avec des effets pervers de nos jours : pour un lycéen $\lambda$, une parabole (qu'il a découverte à l'occasion du cours sur le second degré) a systématiquement un axe "vertical".
C'est ignorer qu'une parabole définie géométriquement (et historiquement !) n'a que faire d'un repère fût-il cartésien.
Ce n'est pas toi qui me dira le contraire : avant de te répondre, j'avais pris soin de retrouver et lire ce fil :
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=16866

Borassus

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Re : Représentation paramétrique d'une parabole

Ce n'est pas toi qui me dira le contraire : avant de te répondre, j'avais pris soin de retrouver et lire ce fil :
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=16866

Mercii Cailloux de t'être (re)plongé dans cette très intéressante discussion, que j'ai redécouverte avec un vif plaisir !!
(J'ai ri en redécouvrant mon expression « courbe "gabuzomeu" » pour désigner la parabole. :-)

Puis Descartes (et ses équations cartésiennes) est passé par là avec des effets pervers de nos jours : pour un lycéen
λ, une parabole (qu'il a découverte à l'occasion du cours sur le second degré) a systématiquement un axe "vertical".

J'avais, dans la discussion que tu avais citée, répondu à Ernst, qui a si justement évoqué l'élégance du passage en paramétrique ou en polaire  :

Le passage en paramétrique ou en polaire est d’une telle élégance que rétrospectivement, je ne comprends toujours pas pourquoi on en reste essentiellement au x et au y tellement cela complique les choses.

Tu touches à un point fondamental : cette véritable religion des coordonnées cartésiennes — je propose "cartésiennolâtrie" —, en réalité, oui, très limitative, et générant une "complexité ahurissante" dès qu'on sort un tant soit peu des gentils cas standard.

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Ernst

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Re : Représentation paramétrique d'une parabole

J'avais, dans la discussion que tu avais citée, répondu à Ernst, qui a si justement évoqué l'élégance du passage en paramétrique ou en polaire  :

Le passage en paramétrique ou en polaire est d’une telle élégance que rétrospectivement, je ne comprends toujours pas pourquoi on en reste essentiellement au x et au y tellement cela complique les choses.

Hello,

Oui, j’ai toujours pensé qu’une courbe sur un plan devait pouvoir prendre n’importe quelle position et n’importe quelle orientation. L’algèbre telle qu’on l’enseigne en math aujourd’hui induit souvent des limitations qui n’ont pas lieu d’être, je pense à la « simple » équation d’une « simple » droite...

Ceci dit et pour nuancer un peu, je me demande si le repère cartésien est vraiment en cause. En image de synthèse la modélisation se fait sans problème dans ce type de repère et les formes mathématiques les plus biscornues peuvent être obtenues sans aucun problème, on les crée à partir d’équations, on les déplace, on les pivote, on les étire et on peut même leur appliquer des opérations booléennes.

L’adage « gardons-nous de courir avant de savoir marcher » garde donc une certaine pertinence puisque l’ensemble de ces opérations met en œuvre des équations à plusieurs variables, du calcul vectoriel, des formules trigonométriques, du calcul matriciel, que sais-je encore, c’est-à-dire les outils enseignés dans notre système scolaire et universitaire à des niveaux de plus en plus complexes, et qui permettent ces résultats bluffants de simplicité.

Tout cela pour dire que la projection d’une surface 3D sur un écran 2D n’est pas à la portée d’un lycéen lambda, même s’il a l’impression en regardant une vidéo d’un cercle parcourant un cercle sur une surface semi-transparente qu’il n’y a finalement rien de plus simple qu’un tore…

(on a toujours l’impression que tout serait tellement plus simple si on nous l’avait dit avant, et surtout autrement)