Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Matos2403c

Membre

Inscription : 04-11-2024

Messages : 9

Borne sup non atteinte

Bonjour,

J'aimerais bien avoir une vérification pour ma réponse à cet exercice puisque la correction affiche une autre méthode et je ne sais pas si ce que j'ai fait est correct ou pas.

énoncé: soit A une partie de R majorée possédant une borne supérieure M n'appartenant pas à A. Montrer que ∀ε>0, ]M-ε,M[ contient une infinité d'éléments de A.

J'ai utilisé le fait que M=supA implique qu'il existe une suite d'éléments de A qui converge vers M.
∀ε>0 ∃n₀∈ℕ, ∀n∈ℕ, n≥n₀ ⇒ |u_n-M|≤ε ⇒ M-ε≤u_n≤M+ε
donc il y a une infinité de termes de la suite u dans l'un des deux intervalles ]M-ε,M[ ou ]M,M+ε[, comme M est un majorant de A c'est le premier intervalle qui contient une infinité de termes de (u_n)_n∈ℕ et donc de A.

Merci beaucoup d'avance!

DeGeer

Membre

Inscription : 28-09-2023

Messages : 108

Re : Borne sup non atteinte

Bonjour
Dans ta démonstration, tu n'utilises pas le fait que la borne supérieure n'appartient pas à $A$, ce qui est indispensable pour la suite. Par exemple, si tu prends $A=\{1,2\}$, sa borne supérieure est $2$ et pourtant, il n'existe aucune suite de $A$ qui converge vers $2$ (à l'exception des suites stationnaires en $2$).

Dernière modification par DeGeer (04-11-2024 15:08:01)

Matos2403c

Membre

Inscription : 04-11-2024

Messages : 9

Re : Borne sup non atteinte

Merci DeGeer :)
J'ai utilisé le fait que M n'appartient pas à A dans ma démo pour passer à l'inégalité stricte dans la détermination de l'intervalle qui contient une infinité de termes. Je sais que ma démonstration n'est pas acceptable.
Votre réponse est très claire, mais alors dans quels cas peut-on exploiter la propriété concernant la borne sup et les suites?

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 659

Re : Borne sup non atteinte

Bonsoir,

Comme l'évoque DeGeer, dans ta preuve tu n'as pas utilisé une hypothèse essentielle (la non appartenance de $M$ à l'ensemble $A$). C'est donc qu'il y a un soucis.
En fait, rien ne te dit (dans ce que tu as fait) que tous les termes de ta suite $(u_n)$ ne sont pas égaux, auquel cas il n'y aurait pas une infinité d'éléments entre $M-\varepsilon$ et $M$...

Roro.

Dernière modification par Roro (04-11-2024 19:09:46)

bridgslam

Membre

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 504

Re : Borne sup non atteinte

Bonjour,

La confusion provient du flou entre termes de la suite ( correspondants à des indices)  et valeurs prises par la suite.
Une infinité de termes ne donnent pas nécessairement une infinité d'images. penser aux suites constantes, stationnaires, périodiques...

Vous pouvez aussi raisonner par l'absurde, en supposant qu'un intervalle contient une partie finie de A, et aboutir à une contradiction.

Bonne soirée
A.

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

bridgslam

Membre

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 504

Re : Borne sup non atteinte

Bonsoir,

[...] , mais alors dans quels cas peut-on exploiter la propriété concernant la borne sup et les suites?

Vous pouvez néanmoins raisonner en termes de suites réelles, car, essentiellement, M est ( la seule) valeur d'adhérence d'une suite d'éléments de A convergeant vers M.
Cela signifie (pas trop de choix) que M est une valeur prise une infinité de fois par la-dite suite, ou un point d'accumulation (*)  des images de la suite ( les 2 possibilités ne sont pas incompatibles, "ou" inclusif).
Visiblement la première possibilité étant exclue puisque M n'est pas dans A, il ne reste que la seconde possibilité.

(*) au sens où tout voisinage de M contient une infinité de points de A, bien représentatif du terme "accumulation". Selon des variantes dans la littérature, la notion est parfois prise comme "tout voisinage de M rencontre A\{M}", mais dans le cas d'un espace séparé (comme $\mathbb{R}$ ) cela est équivalent, donc on peut prendre soit l'une soit l'autre des définitions sans aucun problème.

A.

Dernière modification par bridgslam (06-11-2024 00:39:21)

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Matos2403c

Membre

Inscription : 04-11-2024

Messages : 9

Re : Borne sup non atteinte

Bonjour

bridgslam, effectivement j'ai fini par reprendre le raisonnement par l'absurde. C'est beaucoup plus clair pour moi maintenant, merci énormément pour toutes vos explications! Merci Roro et DeGeer également.

Bonne fin d'après-midi :)