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Rim45

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Limites de fonctions

Bonjour,

Je dois montrer que quand x-> -2, x> -2, lim(x^2+3x+2)=0-

J'ai dit que -2 et -1 sont les racines du polynôme, et entre les racines, le polynôme est de signe opposé au coeff de x^2, donc négatif.
Pour tout x appartenant ]-2;-1[, x^2+3x+2<0
Donc quand x-> -2, x> -2, lim(x^2+3x+2)=(-2)^2+3×(-2)+2=0-

Est ce que cette justification est correct et est ce qu'on a le droit de dire directement que la limite vaut 0 ou est ce qu'il faut faire par somme s'il vous plaît?

Roro

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Re : Limites de fonctions

Bonjour,

Ce que tu dis me parait correct.

Roro.

Borassus

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Re : Limites de fonctions

Bonjour Rim45, bonjour à tous

C'est important d'indiquer, comme tu le fais, le signe du polynôme lorsque sa variable tend vers une des deux racines du polynôme : $0^{+}$ ou $0^{-}$, en particulier lorsque le polynôme est au dénominateur.

$\dfrac {k}{P(x)}$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ lorsque $x$ tend vers une des racines du polynôme, suivant les signes respectifs de $k$ et de $P(x)$ :

• Si $k > 0$ et si $P(x) \to 0^{+}$ , $\dfrac {k}{P(x)} \to +\infty$

• Si $k > 0$ et si $P(x) \to 0^{-}$ , $\dfrac {k}{P(x)} \to -\infty$

• Si $k < 0$ et si $P(x) \to 0^{+}$ , $\dfrac {k}{P(x)} \to -\infty$

• Si $k < 0$ et si $P(x) \to 0^{-}$ , $\dfrac {k}{P(x)} \to +\infty$

Il suffit tout simplement d'appliquer la règle des signes pour un quotient ; et de retenir qu'en valeurs absolues (c'est-à-dire sans tenir compte des signes), un nombre divisé par un grand nombre donne un petit nombre.

Dernière modification par Borassus (02-11-2024 10:41:10)

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

Zebulor

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Re : Limites de fonctions

Hello,
on peut aussi voir que  $x^2+3x+2=(x+2)(x+1)$

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Rim45

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Re : Limites de fonctions

D'accord merci,
je voulais aussi savoir si pour calculer la limite ici on avait le droit directement de dire que c'était f(-2) (avec f la fonction polynôme).
Par ex aussi si on me demande lim (5sin(x)) quand x tend vers 0, on calcule juste lim (5sin(x))=5 × sin(0) = 0
Ou est ce qu'il faut faire lim sin(0)=0, par produit lim (5sin(x)).
Je sais que ça ne change pas grand chose mais je voulais être sûr quand même.

Rim45

Invité

Re : Limites de fonctions

Hello,
on peut aussi voir que  $x^2+3x+2=(x+2)(x+1)$

Après il faut étudier le signe de (x+2)(x+1) ou il faut faire les limites de (x+2) et (x+1)?

Zebulor

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Re : Limites de fonctions

Bonsoir RIm,

la limite du produit égale le produit des limites car les fonctions sont continues au point considéré. Donc pas besoin d'étude de signe.
Par ailleurs $\lim_{x \to c} kf(x)= k* \lim {f(x)}$ pour répondre à ton post 5.

Dernière modification par Zebulor (02-11-2024 18:30:06)

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Rim45

Invité

Re : Limites de fonctions

Bonsoir RIm,

la limite du produit égale le produit des limites car les fonctions sont continues au point considéré. Donc pas besoin d'étude de signe.
Par ailleurs $\lim_{x \to c} kf(x)= k* \lim {f(x)}$ pour répondre à ton post 5.

Bonsoir,

Dans votre exemple c'est mieux de faire le produit des limites ou on peut juste faire Lim k f(x) = k×f(c)?

Et en factorisant on obtient Lim(x+2)(x+1)= 0+ × (-1), mais dans mon cours il n'y a pas de règles opératoires pour les produits de 0+ et L<0. J'imagine que ça fait 0- mais est ce qu'on a le droit ?

Merci beaucoup.

Borassus

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Re : Limites de fonctions

Bonsoir,

Borassus évoquait dans son message #3 la règle des signes pour un quotient de limites. Cette règle est aussi bien évidemment applicable à un produit de limites.  :-)

Dernière modification par Borassus (02-11-2024 20:16:03)

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

Rim45

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Re : Limites de fonctions

Bonsoir,

Borassus évoquait dans son message #3 la règle des signes pour un quotient de limites. Cette règle est aussi bien évidemment applicable à un produit de limites.  :-)

Bonsoir
D'accord merci je ne trouvais pas de cours pour confirmer que ça marche pour les produits.

Borassus

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Re : Limites de fonctions

Hé oui, les aspects tout à fait pratiques comme les règles de signes d'un quotient de limites ou d'un produit de limites ne sont pas enseignées en cours !
:-)

Il n'y a donc pas de tableau à apprendre !
Juste se souvenir de la "logique des choses" :

• La limite d'un produit est le produit des limites, quel que soit le nombre de facteurs, incluant les règles de signes,  SAUF pour l'indétermination $0 \times \infty$. (Mais dans ce cas, le signe de la limite trouvée est normalement cohérent avec les règles de signes.)

• La limite d'un quotient est le quotient des limites,  incluant les règles de signes, SAUF pour les indéterminations $\frac {0}{0}$ et $\dfrac {\infty}{\infty}$. (Dans ces cas, le signe de la limite trouvée est normalement cohérent avec les règles de signes.)

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L'exigence précède l'expérience.

Roro

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Re : Limites de fonctions

Bonsoir,

Hé oui, les aspects tout à fait pratiques comme les règles de signes d'un quotient de limites ou d'un produit de limites ne sont pas enseignées en cours !
:-)

Il n'y a donc pas de tableau à apprendre !

Euh, faut pas exagérer. Il y a des cours qui sont bien faits et je pense que de tels tableaux sont à peu près dans tous les cours. J'ai pris le premier exemple que j'ai trouvé sur le web : https://www.maths-et-tiques.fr/telech/20LimFctC.pdf page 6...

Je pense que n'importe quel enseignant qui fait un cours sur les limites parle de ce type d'opérations !!!

Mais peut être parles-tu d'autre chose ?

Roro.

Dernière modification par Roro (02-11-2024 22:50:10)

Borassus

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Re : Limites de fonctions

Bonsoir Roro, bonsoir Rim45, bonsoir à tous,

Pan sur le bec !
Le bouillonnant et turbulent Borassus a encore frappé !  :-)

Bien évidemment, beaucoup d'enseignants, si ce n'est la majorité, expliquent, oralement et dans leurs supports de cours, que les règles de signes s'appliquent naturellement aussi aux produits et quotients des limites !

Toutefois, cette évidence ne correspond malheureusement pas à ce que j'observe concrètement chez mes élèves, même parmi les meilleurs, de Terminale (un certain nombre cumulés depuis les douze dernières années, avec, avant la réforme Blanquer, jusqu'à douze ou treize suivis en parallèle, sans compter mes élèves de stage) : je retrouve en effet systématiquement les interrogations de Rim45, plus d'autres comme par exemple « Est-ce que 0 sur infini est une indétermination ? ».

Je vois aussi de près à quel point les tableaux leur semblent déroutants — « je dois apprendre tout ça ?! » — et je vois leur étonnement lorsqu'ils comprennent que ces tableaux se résument à seulement trois règles simples.
Pas plus que les formules — je dis souvent à mes élèves « Les formules qu'on vous fait apprendre ne représentent en réalité que des cas particuliers de logiques générales qui, elles, n'ont pas besoin de formules » —, les tableaux n'assurent une compréhension de fond.

PS : Suite à cette discussion, je vais encore plus insister sur les règles des signes appliquées aux produits et quotients de limites, qui sont en réalité beaucoup plus importantes qu'elles ne semblent.
Merci Rim45 !

Bonne fin de soirée.
Et bonne reprise !

Dernière modification par Borassus (03-11-2024 23:52:04)

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cailloux

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Re : Limites de fonctions

Bonjour,
Pour en revenir à la question originale, je pense qu'il est utile de rappeler que toute fonction polynôme $P$ est continue sur $\mathbb{R}$ et donc que pour tout $a$ réel :
$$\lim\limits_{x\to a}P(x)=P(a)$$

Zebulor

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Re : Limites de fonctions

Bonjour,
cailloux a résumé l'essentiel me semble t-il ...

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Bernard-maths

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Re : Limites de fonctions

Bonjour à tous !

J'ai failli dire : élémentaire mon cher Watson !

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Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !