Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Paire2ski

Membre

Inscription : 31-08-2023

Messages : 3

Théorème du point fixe (Banach)

Bonjour, j'aurai besoin d'un éclaircissement sur un exo de complétude des espace métrique.

Soit f de R dans R donnée par f(x)=sqrt(x^2+1).

Montrer que f vérifie |f(x)-f(y)|<|x-y|, pour tout x,y dans R mais que f n'admet pas de point fixe.

J'ai réussis l'exercice pourtant je n'arrive pas à concevoir ce résultat. Si f vérifie la propriété elle est donc contractante et puisque elle est définie d'un espace complet dans lui-même, alors par le théorème du point fixe de Banach, elle devrait admettre exactement un point fixe. Pourtant l'exo suggère que non.

Sauriez-vous m'éclairer ?

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 659

Re : Théorème du point fixe (Banach)

Bonsoir,

L'application $f$ n'est pas contractante car il n'existe pas de constante $C<1$ telle que pour tous réels $x$ et $y$ on a $|f(x)-f(y)| \leq C|x-y|$.

Elle est simplement $1$-lipschitzienne ce qui n'est pas exactement la même chose.

Trace la fonction $f$ et tu comprendras ce qu'il se passe : la courbe représentant $f$ ne croise jamais la droite d'équation $y=x$ (sinon il y aurait un point fixe), mais presque lorsque $x$ devient grand...

Roro.

Dernière modification par Roro (03-11-2024 21:47:19)