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#1 31-10-2024 12:22:19

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 185

Support d'une fonction

Bonjour,
j'ai l'exercice suivant:
On considère la fonction $\psi_{a,b}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\psi_{a,b}(x)= \exp(-\dfrac{1}{(x-a)(x-b)}$ si $x \in ]a,b[$ et 0 si $x \notin ]a,b[$.
1- Déterminer le support de $\psi_{a,b}.$
2- On définit la fonction $f= \psi_{2,3} + \psi_{5,6}$
Montrer que $f \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ et déterminer $\mathrm{Supp} \ f$.

Pour la question 1, on a $\mathrm{Supp} \ \psi_{a,b}= [a,b].$
Pour la question 2, $f$ est de classe $C^{\infty}$ car elle est la somme de deux fonctions de classe $C^{\infty}$.
Ensuite, on a $\mathrm{Supp} \ f \subset \mathrm{Supp} \psi_{2,3} \cup \mathrm{Supp} \psi_{5,6}= [2,3] \cup [5,6]= K.$
Comme $K$ est compact, alors $\mathrm{Supp} \ f$ est compact.

Pour la question: calculer $\mathrm{Supp} f$. Comment on le calcule? S'il vous plaît.

Merci d'avance

Hors ligne

#2 31-10-2024 12:40:38

DeGeer
Membre
Inscription : 28-09-2023
Messages : 97

Re : Support d'une fonction

Bonjour
Tu viens de montrer que le support de $f$ est inclus dans $K=[2,3]\cup [5,6]$. Il reste à voir si cette inclusion est stricte.
Sinon, je ne sais pas s'il est acquis que les fonctions $\psi_{a,b}$ sont de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ ou s'il faut le démontrer.

Hors ligne

#3 31-10-2024 12:53:13

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 185

Re : Support d'une fonction

Déjà, écrivons la définition de la fonction $f$.
On a:
$\psi_{2,3}(x)= \exp(-\dfrac{1}{(x-2)(x-3)})$ si $x \in ]2,3[$ et 0 sinon
$\psi_{5,6}(x)= \exp(-\dfrac{1}{(x-5)(x-6)})$ si $x \in ]5,6[$ et 0 sinon
Mais comment écrire l'expression de $f(x)= \psi_{2,3}(x) + \psi_{5,6}(x)$?

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#4 31-10-2024 13:03:04

DeGeer
Membre
Inscription : 28-09-2023
Messages : 97

Re : Support d'une fonction

Est-ce que $x$ peut appartenir à la fois à $]2,3[$ et à $]5,6[$?
Il suffit alors de distinguer les cas suivant que $x$ appartient à $]2,3[$, à $]5,6[$, ou à aucun de ces intervalles.

Dernière modification par DeGeer (31-10-2024 13:04:44)

Hors ligne

#5 31-10-2024 14:55:16

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 17 149

Re : Support d'une fonction

Bonjour ccapucine,

- Hors sujet -
Ici https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=17530 tu as nous avais soumis un exercice intéressant (sic. "Sic", parce que tu as employé cet adjectif) et pour lequel tu regrettais que, sur le forum d'où il provenait, il n'ait pas reçu de réponse...

Cet exercice que tu nous as soumis, s'il a reçu chez nous des réponses de notre part, nous, nous ignorons encore :
- si tu as lu ces réponses,
- si elles t'ont donné satisfaction,
- s'il reste des points à éclaircir...

Si tu pouvais y penser, ce serait bien ... ;-)

      Yoshi
- Modérateur -


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