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#26 17-10-2024 07:39:10

cailloux
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Messages : 93

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

Bonjour,
Faute de n'avoir pas lu la page mathcurve assez attentivement, je n'avais pas compris. Maintenant j'y suis.
Je fais référence à la perspective précédente.
Soit donc le cône de révolution de sommet $a$, d'axe la perpendiculaire en $a$ au plan "équatorial" $(O,\vec{i},\vec{u})$ dont deux génératrices passent par les pôles de la sphère.
Soit $M$ un point de l'intersection cône/sphère et $m$ sa projection sur le plan équatorial.
-Le cône ayant un demi-angle au sommet de 45°, le triangle $amM$ est rectangle isocèle en $m$ et $am=mM$
-$Om^2+mM^2=OM^2=R^2\Longleftrightarrow Om^2+am^2=R^2=Oa^2$
Le triangle $Oma$ est donc rectangle en $m$ donc $M$ appartient au cylindre défini plus haut.
Réciproquement si $M$ appartient à l'intersection cylindre/sphère, $am=mM$ (prouvé plus haut) et $(aM)$ est une génératrice du cône donc $M$ appartient à ce cône.
Bref, cône, cylindre et sphère ont pour intersection la courbe de Viviani. Les calculs déjà faits poiur les équations s'appliquent.

Confirmé par une épure de descriptive relative à l'intersection cône/sphère :
5yqq.png
Remarquer en projection horizontale le lieu de $m$ et $n$ : le cercle de diamètre $[oa]$ directrice du cylindre droit déjà évoqué. Ce n'est pas une surprise !
[Edit] Un lien pour tenter de comprendre l'épure :

https://www.geogebra.org/m/zef275dv

Dernière modification par cailloux (19-10-2024 13:37:09)

Hors ligne

#27 17-10-2024 08:03:22

Bernard-maths
Membre
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Inscription : 18-12-2020
Messages : 1 454

Re : La fenêtre de Viviani, vous connaissez ?

On samuse bien !

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