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#1 07-10-2024 22:06:13

Lune66
Invité

Exercice en probabilités.

Bonsoir,

Soit [tex]X[/tex] une variable aléatoire réelle de densité, [tex]f(x) = x e^{ - \frac{x^{2}}{2}} \mathrm{1}_{[0,+ \infty[} (x)[/tex].
La fonction f est mesurable et positive, telle que, [tex]\displaystyle \int_{\mathbb{R}} f(x) dx = 1[/tex]
Donc, [tex]f[/tex] est une densité de probabilité.

1 - La variable aléatoire [tex]Y = X^2[/tex] est - t - elle à densité ?
2 - Reconnaitre la loi de [tex]Y = X^2[/tex], à l'aide de la méthode des fonctions tests.

Pouvez vu m'aider sur ces deux questions s'il vous plaît ?

Qu'est ce que la méthode des fonctions tests ?

Merci d'avance.

#2 08-10-2024 07:51:03

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 197

Re : Exercice en probabilités.

Bonjour,

  Difficile de répondre à la question dans l'esprit de celui qui a posé l'exercice sans connaitre le contenu du cours.
Moi, pour le 1. (mais ça marche aussi pour le 2 -), je me baserais sur la fonction de répartition : Pour $y\in\mathbb R,$
on a $F_Y(y)=P(Y\leq y).$ Si $y<0,$ alors $F_Y(y)=0$. Si $y>0,$ alors
\begin{align*}
F_Y(y)&=P(-\sqrt y\leq X\leq \sqrt y)\\
&=P(X\leq \sqrt y)\\
&=F_X(\sqrt y).
\end{align*}
Par composée de fonctions dérivables, $F_Y$ est dérivable sur $\mathbb R^*$ donc $Y$ admet une densité qui est donnée par la dérivée de $F_Y.$ Je te laisse calculer cette dérivée pour retrouver une loi bien connue.

La méthode des fonctions tests consiste en le principe suivant : deux variables aléatoires $Y$ et $Z$ ont la même loi si et seulement si, pour toute fonction continue bornée $h$ définie sur $\mathbb R,$ on a $E(h(Y))=E(h(Z))$.
En particulier, si tu peux écrire, pour toute telle fonction $h,$
$$E(h(Y))=\int_{\mathbb R}h(y)g(y)dy,$$
alors tu sais que $Y$ admet pour densité $g$.

Ceci amène à faire un calcul en effectuant un changement de variables dans l'intégrale. En effet, ici, tu peux écrire
$$E(h(Y))=E(h(X^2))=\int_{\mathbb R}h(x^2)f_X(x)dx=\int_{0}^{+\infty}h(x^2)xe^{-x^2/2}dx.$$
Et là on a une furieuse envie de poser $y=x^2$...

F.

Hors ligne

#3 08-10-2024 22:37:35

Lune66
Invité

Re : Exercice en probabilités.

Merci Fred.

- Pour la question 2,
On pose,  [tex]y = x^2[/tex]. D'où, [tex]dy = 2 x dx[/tex], et donc, [tex]dx = \dfrac{1}{2 \sqrt{y}} dy[/tex], pour, [tex]x> 0[/tex].
Par conséquent,
$$E(h(Y))=E(h(X^2))=\int_{\mathbb R}h(x^2)f_X(x)dx=\int_{0}^{+\infty}h(x^2)xe^{-x^2/2}dx$$
$$ = \int_{0}^{+\infty}h(y) \sqrt{y} e^{-y/2} \times \dfrac{1}{2 \sqrt{y}} dy $$
$$ = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{+\infty}h(y) e^{-y/2} dy $$
Donc, [tex]Y[/tex] admet pour densité, [tex]g(y) = \dfrac{1}{2} e^{-y/2}[/tex].
Donc, [tex]Y[/tex] a pour loi, [tex]\mathbb{P} ( Y \leq x ) = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-y/2} dy[/tex], pour tout, [tex] x > 0[/tex].
Est ce que cela répond à la question ?

- Pour la question 1,
Pourquoi, [tex]P(-\sqrt y\leq X\leq \sqrt y) = P(X\leq \sqrt y)[/tex] ?

Merci d'avance.

#4 09-10-2024 06:40:50

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 197

Re : Exercice en probabilités.

Pour la question 2. je pense qu'il faut que tu reconnaisses une loi usuelle.

Pour la question 1. X prend presque sûrement des valeurs positives.

F.

Hors ligne

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