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#1 02-10-2024 16:46:30
- Sebastien90
- Invité
Théorie de la mesure.
Bonjour à tous,
Soit [tex]( \Omega , \mathcal{B} ( \Omega ) , \lambda )[/tex] un espace mesuré.
Comment montrer que, l'espace de Lebesgue, [tex]L^2 ( \Omega , \mathcal{B} ( \Omega ) , \lambda )[/tex] est un espace de Hilbert ?
Merci d'avance.
#2 02-10-2024 16:52:42
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 197
Re : Théorie de la mesure.
Bonjour,
C'est facile de vérifier que $\langle f,g\rangle=\int_{\Omega}f(\omega)\overline{g(\omega)}d\lambda(\omega)$ est un produit scalaire.
Ensuite, il faut démontrer que $L^2$ est complet et là, c'est une autre paire de manches. Ce résultat s'appelle le théorème de Riesz-Fisher, et il n'est pas simple à démontrer.
F.
Hors ligne
#3 02-10-2024 17:04:49
- Sebastien90
- Invité
Re : Théorie de la mesure.
Merci beaucoup pour votre réponse Fred.
Que signifie que [tex]L^2 ( \Omega , \mathcal{B} ( \Omega ) , \lambda )[/tex] est complet ?
Est ce que cela signifie qu'il faut trouver un espace préhilbertien [tex]H[/tex] muni du produit scalaire que tu as décrit plus haut, et ensuite montrer que, [tex]L^2 ( \Omega , \mathcal{B} ( \Omega ) , \lambda ) = \overline{H}^{|| \bullet ||_{2} }[/tex], où, [tex]|| \bullet ||_{2}[/tex] est la norme dérivant de ce produit scalaire ?
Si oui, quel ce [tex]H[/tex] ?
Merci d'avance.
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