Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bibmgb

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Opérations sur les équivalents

Bonjour,

On dit que [tex]a_n\underset{+\infty}{\sim} b_n[/tex] s'il existe [tex](u_n)[/tex] tel que [tex]a_n=u_n b_n[/tex] avec [tex]\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}u_n=1[/tex].

Ma question : si [tex]a_n\sim b_n[/tex] alors peut-on en déduire que [tex]a_n-1\sim b_n-1[/tex] et si oui comment le prouve-t-on ?

Si on pose [tex]v_n=\dfrac{a_n-1}{b_n-1}[/tex] (encore faut-il que [tex]b_n[/tex] ne prenne pas la valeur 1) alors il faut  montrer que [tex]\dfrac{a_n-1}{b_n-1}[/tex] tend vers 1 quand [tex]n\rightarrow +\infty[/tex].

Si [tex](b_n)[/tex] converge, appelons [tex]\ell[/tex] sa limite, alors [tex](u_nb_n)[/tex] converge vers [tex]1\times \ell[/tex] donc [tex](a_n)[/tex] converge vers [tex]\ell[/tex]. Donc [tex]\dfrac{a_n-1}{b_n-1}\rightarrow \dfrac{\ell-1}{\ell -1}=1[/tex].

Par contre, que se passe-t-il si [tex](b_n)[/tex] ne converge pas ?

cailloux

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Re : Opérations sur les équivalents

Bonjour,
En supposant que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ ne tendent pas vers $1$ et soient différentes de $1$ pour tout $n$ à partir d'un certain rang :
$a_n-1=\left(u_n+\dfrac{u_n-1}{b_n-1}\right)(b_n-1)$ à partir de ce même rang

Dernière modification par cailloux (27-09-2024 21:41:22)

Fred

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Re : Opérations sur les équivalents

Bonsoir,

  En revanche, si $(a_n)$ (et donc $(b_n)$) tend vers $1,$ le résultat est faux : par exemple si $a_n=1+\frac 1n$ et $b_n=1+\frac 1{n^2}.$

F.

cailloux

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Re : Opérations sur les équivalents

Bonsoir à tous,
J'ai édité mon dernier message sans sauver mes misérables meubles.
Je m'aperçois que je n'ai pas vraiment répondu à la demande de bibmgb.
Exhiber un contre exemple, comme l'a fait Fred, est tout à fait judicieux.
J'ai une question : peut-on exhiber un contre exemple avec deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ non seulement divergentes mais qui n'ont pas de limite ?

bibmgb

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Re : Opérations sur les équivalents

Bonjour, merci pour vos interventions qui m’aident beaucoup. J’en conclus que le point litigieux est quand les suites tendent vers 1 ou quand elles prennent la valeur 1 une infinité de fois, sinon ça fonctionne.