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jfniouk

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cercle inscrit ou sphère dans cône

Bonjour à tous et merci de votre aide.
Je bloque sur un exercice

je n'ai pas mis toute les mesure que j'ai trouvé et je ne trouve pas la solution sur le net.
je ne veux pas simplement une réponse, j'aimerais comprendre comment faire
merci

Black Jack

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Re : cercle inscrit ou sphère dans cône

Bonjour,

Comprendre les 3 mesures de couleur sur mon dessin et ensuite :

1 application de Pythagore ... suivi d'une soustraction et c'est fini.

https://zupimages.net/viewer.php?id=24/38/hylk.png

yoshi

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Re : cercle inscrit ou sphère dans cône

Bonjour,

J'ai refait le dessin (qui n'est pas à l'échelle pour les angles) :

Explications du dessin.
Le rayon [OT] du cercle de départ (rouge) est perpendiculaire en T à la tangente (TS).
J'ai pris une échelle 1/2, ai placé le cercle et supposé le problème résolu (au départ, j'avais utilisé un angle de 20°, puis je me suis aperçu que l'angle $\hat S$ mesurait 13° et non 20° et je n'ai pas eu ni le courage ni l'envie (mon prof de maths de 1ere , il y a bien longtemps avait pour maxime : la Géométrie, c'est l'art de raisonner juste sur une figure fausse), donc j'ai gardé le dessin (mon angle $\hat S$ mesure environ 23° !!!)...
Et j'ai fait le travail avec les dimensions que tu as données
Si j'ai bien compris, tu cherches la longueur OD...
Si c'est autre chose, alors mon calcul n'est pas celui  que tu devras faire

Si j'ai bien vu, alors pour cela, tu as besoin de OS et de DS.
Tu vas travailler dans les triangles OTS rectangle en T et EDS rectangle en D pour pouvoir utiliser$\tan$ et $sin$...

C'est assez vite fait...
Je ne t'en dis pas plus si tu veux avoir le plaisir de chercher et trouver...
Ah, si ! En spoiler, comme ça, tu sauras à la fin si on est d'accord.

▼ solution cachée

Dans le triangle OTS rectangle en T, on utilise $sin(\hat s)$
$\sin(\hat s)=\frac{OT}{OS}$
d'où:
$OS =\frac{OT}{\sin(\hat s)}$
soit
$OS=\frac{18}{\sin(13°)}$

Dans le triangle EDS rectangle en D, on utilise $tan(\hat s)$
$\tan(\hat s)=\frac{ED}{DS}$
d'où:
$DS =\frac{ED}{\tan(\hat s)}$
soit
$DS=\frac{20}{\tan(13°)}$

On en tire alors :
$ OD = DS - OS =\frac{20}{\tan(13°)}-\frac{18}{\sin(13°)}\approx 6.612$ à 0,001 près

@+

[EDIT] J'avais vu la réponse de Black Jack après avoir posté la mienne ! J'en ai été surpris....
Alors, cet après-midi, par acquit de conscience, j'ai refait le dessin à l'échelle 0.5 et bien pris un angle de 13° cette fois. Puis j'ai demandé au logiciel de Fred, GeoLabo avec lequel, j'ai travaillé, de mesurer la distance OD.
J'ai pris cette valeur et l'ai multipliée par 2 : je retombe sur le résultat donné en solution cachée...

Alors, Black Jack, j'ai de nouveau réfléchi et je viens de trouver pourquoi tu as évoqué Pythagore....
J'ai fait les calculs que tu indiques et je retrouve bien la valeur que j'ai donnée en solution cachée !
J'en suis très satisfait : pour une fois, j'ai utilisé la méthode la plus courte tout en restant simple...

Dernière modification par yoshi (21-09-2024 17:59:45)

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jfniouk

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Re : cercle inscrit ou sphère dans cône

Merci beaucoup pour votre aide, le problème était assez simple, mais à 57 ans, il y a bien longtemps que je n'avais pas fait de géométrie
Encore merci

yoshi

Modo Ferox

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Re : cercle inscrit ou sphère dans cône

Re,

Bah... tu es dans la force de l'âge : j'en suis moi à 77 ! ^_^
L'emploi du  sinus économise un certain nombre de calculs par rapport à ce que proposait Black Jack :
Avec la tangente en bleu, il obtenait la longueur ST (notation de mon dessin).
Grâce à Pythagore, il en déduisait l'hypoténuse OS de mon triangle OTS.
Il en prenait ensuite la racine carrée dont il soustrayait la valeur à celle calculée en rouge par la tangente.

Avec le sinus(13°) j'obtenais directement la mesure de OS...

N-B : sauf absolue nécessité, il n'était pas nécessaire d'obtenir spécifiquement les valeurs intermédiaires  approchées de OD et de OS, il suffisait de prendre la calculatrice windows (en choisissant Affichage --> Scientifique - si nécessaire - et en cochant Degrés, puis d'enchaîner les frappes de touches :
20/13tan-18/13sin=
et on obtient à l'affichage de l'écran de la calculette
--> en haut, le calcul demandé : 20 / tand(13) - 18 /sind (13) 
     (le d indique que les angles sont en degrés)
--> en bas le résultat : 6,6121107991386922051690332631874

Tout à la souris sans recopier aucun chiffre...

Avec le langage de programmation que j'utilise (Python), j'ai dû importer depuis le module math, les fonctions sin, tan et radians (pour la conversion des degrés en radians.
Et j'ai tapé :
20/tan(radians(13)) - 18/sin(radians(13)) et Entrée et j'ai obtenu :
6.612110799138691  sans me préoccuper non plus des valeurs intermédiaires...

Bien sûr, on peut aussi faire le calcul proposé par Black Jack en une fois sans se préoccuper des valeurs intermédiaires :
$20/ \tan(13)-\sqrt{18^2+(18/ \tan(13))^2}$
Avec Python :
20/tan(radians(13))-sqrt(18**2+(18/tan(radians(13)))**2)
qui renvoie :
6.612110799138705
seuls les 3 derniers chiffres changent...

Je vais essayer les combinaisons de touches de la calculette windows (pas simple il faut penser à l'envers)

Dernière modification par yoshi (22-09-2024 15:55:26)

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Black Jack

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Re : cercle inscrit ou sphère dans cône

Bonjour,

Juste pour info, les 2 calculs du message #5 entrés dans Wolfram Alpha, donnent les mêmes résultats, soit :

6.6121107991386922051690332631874454644043441719962480651333000014

yoshi

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Re : cercle inscrit ou sphère dans cône

Re,

Ok, alors c'est bien...

Je vais essayer les combinaisons de touches de la calculette windows (pas simple il faut penser à l'envers)

C'est fait, enfin !
Ce fut plus que "pas simple"... Voilà (en rouge les touches de fonctions), pas d'espaces nécessaires:
20 / 13$\;\tan\; -\; ($ 18$\;x^2\;+\;$(18 / 13 $\tan\;)\;x^2\;)\;\sqrt[y] x$ 2 =

ce que la calculette présente comme :
20 / tand(13) - (sqr(18) + sqr(18 / tand(13))) yroot 2

tand() --> tangente d'un angle en degré
sqr() --> carré de ...
yroot x racine-y_ième de x  donc yroot 2  racine carrée de...

Et affiche le résultat suivant : 6,6121107991386922051690332631874

Bin, pfff... je ne ferais pas ça tous les jours !

@+

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Borassus

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Re : cercle inscrit ou sphère dans cône

Bonsoir Yoshissime, Black Jack, et bien sûr jfniouk, bonsoir à tous,

C'eût été plus logique de demander de combien le cercle ou la sphère dépasse du triangle ou du cône.

En reprenant la logique proposée par Yoshi, le dépassement est égal à $18 - \dfrac {20 \cos {13} - 18}{\sin {13}}$, soit $\approx 11,388$.

Question subsidiaire : En imaginant le cône posé verticalement, quel doit être le rayon de la sphère pour que le cône la recouvre entièrement tout en lui étant tangent ?

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.