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renéb

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Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

Bonsoir,

Je cherchais à installer GeoLabo sur ma machine fonctionnant sous Linux.
J’ai pas trouver comment faire. (Si quelqu’un peut m’éclairer?).
J’ai donc utilisé GeoGebra car je me suis lancer le défi de trouver, en autodidacte, une méthode pour tracer l’impossible cet à dire un heptagone régulier avec pour  seul outil une règle non graduée et un compas . J’ai finalement trouvé une méthode mais qui, évidemment,ne tombe pas pile poil.

voici comment:

Et puis, avec la contrainte en tête (ni compas ni équerre) cette invitation à la recherche faite par jpp (le 4/11/23) m’a bien intéressée:

On vous donne un cercle . ( pas de centre ) ; puis un diamètre AB sur ce cercle . Et enfin un point C appartenant à ce cercle .
Avec uniquement un crayon et une règle non graduée , tracer la perpendiculaire à AB passant par C .

J’ai trouvé ceci :

Merci et vive les beaux problèmes de géométrie.

Reneb

Dernière modification par renéb (13-09-2024 01:09:55)

jelobreuil

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Re : Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

Bonjour Reneb,
Tout d'abord, permets-moi, je te prie, de te le faire remarquer : le titre de ta discussion est trompeur, puisque tu utilises un compas.
Je m'intéresse aussi à la construction approchée de polygones aussi réguliers que possible, "à la règle et au compas". Comme j'utilise Geogebra, je ne me sers que des fonctions basiques, genre "médiatrice" ou "parallèle" ...
Concernant l'heptagone, j'en ai trouvé plusieurs qui donnent des angles dont la valeur est correcte au centième de degré près ou moins ... Je vais t'en envoyer quelques-unes par e-mail.
Mais je suis frustré : je n'arrive pas à lire le détail de ta construction, car le zoom n'opère pas sur les images ...
Peux-tu me l'indiquer en texte, STP ? Merci d'avance !
Bien cordialement, Jean-Louis B.

Dernière modification par jelobreuil (13-09-2024 14:07:48)

jelobreuil

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Re : Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

Bonsoir, Renéb,
Il y a 4 ans, j'ai trouvé cette construction très simple, qui repose sur le fait que la somme des racines carrées de 3 et de 7 est pratiquement égale à la tangente de l'angle 3pi/7 : (rac3 + rac7) = 4,37780212 et tan(3pi/7) = 4,38128627, soit un écart de 0,0035 ou 0,08 %.
Partant d'un segment de base AB, de milieu M, et du point C, symétrique de M par rapport à B, je trace un arc de cercle de centre A et de rayon AB et je marque le point D d'intersection de cet arc de cercle et de la médiatrice de AB, puis je trace un deuxième arc de cercle de centre D et de rayon DC. Le point E d'intersection de ce deuxième arc de cercle et de la médiatrice de AB (situé au-delà de D par rapport à M) constitue le sommet opposé au côté AB de l'heptagone régulier voulu. Je trace la médiatrice de AE, elle coupe celle de AB en O, je trace le cercle de centre O et de rayon OA = OB = OE, et le point F d'intersection de la médiatrice de AE et de l'arc BE du cercle constitue le quatrième sommet de l'heptagone, dont le cinquième sommet sera le point G d'intersection de l'arc BE et de la médiatrice de FE, et les deux derniers sommets seront les points H et I symétriques de F et G par rapport à la médiatrice de AB.
J'ai pu constater qu'en général, c'est cette stratégie consistant à prendre un segment de base dont les extrémités seront des sommets du polygone, à placer un troisième sommet du polygone (peu importe lequel), à tracer le cercle circonscrit au triangle ainsi obtenu et à découper sur ce cercle le nombre voulu d'arcs égaux à l'aide de médiatrices et d'opérations de symétrie axiale qui donne les meilleurs résultats en terme de régularité des valeurs des arcs, et donc des angles du polygone.
J'en ai d'autres, encore plus exactes, mais un peu plus compliquées, bien sûr ! Je t'en ferai part dans des messages ultérieurs.
Bien cordialement, Jean-Louis B.

renéb

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Re : Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

Bonjour

Difficulté à avoir du réseau.
Demain fin de journée ce sera bon j'espère.
À bientôt

Renéb

jelobreuil

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Re : Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

Bonjour Renéb,
En prenant une copie d'écran et en agrandissant cette copie, j'ai réussi à comprendre ta figure ...
Ce qui gâche un peu la chose, c'est que tu travailles sur graphique : d'accord, cela t'aide à placer correctement certains points, mais ce n'est pas très satisfaisant ...
Au lieu de placer les points A, B, C, comme tu l'as fait, tu peux partir d'un carré et placer les points aux bons endroits avec les commandes Geogebra "milieu", "symétrie centrale", "intersection", ...
En outre, tracer a priori le cercle circonscrit à ton heptagone régulier ne me semble pas la meilleure stratégie ...
Il vaudrait mieux que tu essaies de trouver un moyen de placer indépendamment un troisième sommet de ton heptagone.
Bien cordialement, Jean-Louis B.

Bernard-maths

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Re : Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

Bonsoir à tous !

J'ai pas le temps de chercher, alors j'ai ... cherché sur le ... net, et voilà ce que j'ai trouvé ...

https://www.ilemaths.net/sujet-comment- … 12574.html

Sera-ce utile ? Bonne chance !

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (14-09-2024 18:54:44)

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Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !

Bernard-maths

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Re : Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

Sinon je viens de trouver une méthode à 12/10^-4 près ...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (15-09-2024 10:11:38)

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renéb

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Re : Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

Bonsoir,

Le titre de la discussion était en lien avec l’invitation faite par jpp. L’image de la construction de l’heptagone s’est rajoutée après.

Et puisque l’on s’intéresse à l’heptagone aussi régulier que possible , traçons-en un

Je le baptise heptagone 23 car 23 rentre dans la première étape qui consiste à trouver le centre du premier arc …..
J’ai obtenu ce nombre par tâtonnement et surtout sur le fait que 23*7=161= et que 161/4= 40,025 (L1 sur l’axe AB très peu à droite de F)
Voici les étapes:
On trace un segment AB
On y indique 23 points équidistants entre eux.
On trace un autre segment plus long  A A1 que l’on partage en 10
On relie les deux extrémités et formons le segment A1 B.
On trace une parallèle à A1 B passant par le 7°intervalle H1 sur A A1.
Cette parallèle coupe A B en un point L1 qui est à 4,025 unités et est le centre à partir duquel et après trois opérations, on obtient le premier côté de l’heptagone recherché.
Ces trois opérations sont :
tracer un arc de cercle de centre L1 (4,025 unités) de rayon L1 N1
il coupe la droite AB en Q1.
Depuis N1 comme centre, un arc de cercle,  N1 Q1 comme rayon, passant par R1 point de rencontre entre le cercle circonscrivant le polygone.
On trace un cercle ayant pour rayon la distance entre R1 et Q1 avec R1 pour centre.Ce cercle coupe le cercle rouge en S1 .
Et, enfin, S1 N1 est un côté de l’heptagone.

J’ai utilisé les grille ; afin de pouvoir mesurer les distances.
La longueur de ce côté obtenu est 0,8677731.
Il aurait dû mesurer théoriquement 0,8677674.

A bientôt

rb

Dernière modification par renéb (16-09-2024 12:52:56)

jelobreuil

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Re : Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

Bonjour renéb, Bernard, et tous,
Merci, renéb, pour ces explications détaillées, le résultat est excellent !
Bernard, peux-tu nous faire part de cette méthode, s'il te plaît ?
Bien cordialement, Jean-Louis B.

Dernière modification par jelobreuil (16-09-2024 08:15:49)

renéb

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Re : Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

Bonjour,

Ce qui gâche un peu la chose, c'est que tu travailles sur graphique ...

Je travaille sur graphique parcequ'il me semble que c'est la façon la plus proche de l'emploi du vrai compas, de la règle non graduée et du crayon pour résoudre un problème de géométrie.
(Et puis je commence seulement à comprendre le fonctionnement de GéoGebra).

Jelobreuil, ne pourrais-tu pas illustrer la construction de l' heptagone que tu nous as donné à lire? J'ai essayé de le dessiner mais je n'y suis pas parvenu.

A bientôt.

Rb

Bernard-maths

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Re : Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

Bonjour à tous, reneb, JLB ... !

La méthode de reneb conduit à une "erreur" de 35*10^-4, je vous propose 12*10^-4 "seulement".

Je pars de A(-1;0) et B(1;0), et O(0;0). Je trace O6, sommet du triangle équilatéral ABO6, sens direct. O6 est aussi le centre de l'hexagone construit sur [AB]. On calcule OO6 = cotan(360°/12) puisque OB = 1. On a OO6 = 1,7320508075 ... (le racine de 3).

Si je trace un heptagone sur [AB], son centre O7 se trouve sur (OO6)  une distance de O7 à O est de OO7 = cotan(360/14) = 2,0765213965 ... D'où O6O7 = 0,3444705890 ...

Alors O6O7 / OO6 = 0,1988801872890 ... quasiment 0,2 = 1/5 !

O'7 peut alors se tracer par une construction de Thalès ...

Il reste à tracer le cercle circonscrit , et reporter la longueur AB autour.

Et voilà, tout cela peut se faire à la règle et au compas. J'ai pas fait de figure à joindre ... "désolé" (;-))

Bernard-maths

PS : finalement ...

Dernière modification par Bernard-maths (16-09-2024 11:44:32)

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renéb

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Re : Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

re-bonjour,

Merci pour cette proposition si précise, mais:
Attention,

J’ai donc utilisé GeoGebra car je me suis lancer le défi de trouver, en autodidacte, une méthode pour tracer l’impossible cet à dire un heptagone régulier avec pour  seul outil une règle non graduée et un compas .

C'est pas la même chose avec ou sans règle graduée.
D'ou l'utilisation de grafique.

A bientôt.
Rb

Dernière modification par renéb (16-09-2024 14:23:43)

renéb

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Re : Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

Re,

Précision de la méthode "heptagone 23" est de 9,999934315×10¹ % si je compte bien.
Pas mal! :-)

Rb

Bernard-maths

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Re : Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

Re,

la proposition de #6 seble donner une construction exacte ???

B-m

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renéb

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Re : Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

bonsoir,

la proposition de #6 semble donner une construction exacte ???

Voici la "trandessination" de la proposition #6.

Pff... c'est un génie du mikado qui a trouvé cette méthode?

Il faudrait vérifier les raccords avant de pouvoir donner un avi sur la précision de cette méthode.
En tous cas concernant la longueur d'un côté il y a une marge.
Théoriquement l= 0.8677674
Ici   = +/- 8.66598

A bientôt

Rb

renéb

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Re : Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

Bonjour,

Sur ma lancée j'ai transdessiné l'heptagone à la façon de JLB.
Jolie méthode et précise.
La voici:

A bientôt.

Rb

PS: Oups!
je remarque qu'il manque une étape indispensable. C'est la droite EA et sa médiatrice.
La médiatrice de EA coupe EM en o centre du cercle coirconscrivant l'heptagone.
Je ne la redessine pas mais avertissement est donné.
       Réparé!

Dernière modification par renéb (23-09-2024 19:15:29)

renéb

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Re : Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

Bonjour,

Je me devais de tenir compte des conseils reçus ,

En outre, tracer a priori le cercle circonscrit à ton heptagone régulier ne me semble pas la meilleure stratégie ...
Il vaudrait mieux que tu essaies de trouver un moyen de placer indépendamment un troisième sommet de ton heptagone.

Voici une nouvelle méthode pour tracer les sommets d'un heptagone régulier à partir d' un premier segment AB.

Merci et à bientôt.

Rb

Bernard-maths

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Re : Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

Bonjour à tous !

Je vois qu'on s'amuse bien avec les heptagones !

Je "crois" qu'on peut aussi le faire avec des ennéagones ... chercher sur le net.

Et aussi (???) pour quelques autres polygones (en dehors des "simples) ...

B-m

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jelobreuil

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Re : Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

Bonjour, bon dimanche à tous !
Ah oui, Bernard, ça, c'est sûr ! J'ai mis sur geogebra des constructions approchées de tous les polygones réguliers convexes de rang impair de 7 à 23 et de quelques autres, en mode partagé ... Je ne sais pas si on peut les visionner commodément, ces figures sont enregistrées à mon nom "Breuil Jean-Louis", et il y en a un gros paquet !! J'ai le projet de les rassembler dans plusieurs documents ...
Renéb, ta construction est intéressante, mais quel en est le principe, le fil directeur, je ne vois pas vraiment ... Je vais essayer de la reproduire, pour mieux la comprendre ...
Bien amicalement, Jean-Louis

renéb

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Re : Ni équerre, ni compas. Règle non graduée et crayon.

Bonjour,

Renéb, ta construction est intéressante, mais quel en est le principe, le fil directeur, je ne vois pas vraiment …

Deux manières :
- A partir d’un point zéro (croisement des axes orthogonaux), définir le rayon qui amorce la construction d’un des côtés du polygone régulier recherché dont l’une des deux extrémités est à l’opposé du point de départ.                   v #8
C’est vrai que cette méthode repose sur le cercle circonscrivant le futur polygone mais quelle efficacité !
Cette méthode est valable pour construire le pentagone, l’heptagone , l’ennéagone, …

- A partir d'un segment (1er côté du polygone régulier) construire un cadre de base stable.
Le voici :
(Excusez-moi pour le drap de lit mais je ne sais pas le réduire.)

   
On cherche un point sur CD départ de la droite DB , B  départ du premier côté du polygone régulier.
Ici BI le premier côté d’un hexagone régulier.

A bientôt.

Rb

Dernière modification par renéb (22-09-2024 21:21:29)