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danielrene

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Hyperplans

Bonjour à tous,

Voici un petit exercice que je me suis proposé dans le but de vérifier mes acquis sur les hyperplans. J'attends  une critique de la rédaction, car je la veux la plus précise possible.

Soit E=$\mathbb{R}^{3}$ et H$_{1}\,=\, \{(x,y,z) \, \in \, \mathbb{R}^{3}\;|\;  x+y+z=0 \}$, alors H$_{1}$ est un hyperplan de E. D'après le cours c'est plan vectoriel de dimension 2 et d'équation $x+y+z=0$. Il reste à déterminer la base de H$_{1}$.

Dans l'équation $x+y+z=0$ on choisit arbitrairement d'exprimer $z$ en fonction de $x$ et $y$ ce qui donne $z=-(x+y)$. Dans la base $B_{E}=\{ e_{1},e_{2},e_{3}\}$ le vecteur est
\[ u =
x e_{1}+y e_{2}-(x+y) e_{3}\]

Peut-on décomposer $   u   $   de la façon suivante

\[u  \; =\; \hspace{6mm} xe_{1}+y e_{2} \qquad  - \qquad   (x+y) e_{3}\]

\vspace{-1mm}  \hspace{38mm}$\underbrace{ Plan \quad vectoriel }_{généré \;par\; \{e_{1}, e_{2}\} }$\hspace{9mm}$\underbrace{ Droite \;\;\alpha  e_{3} } $

Merci pour les réponses à venir.

PS : Désolé  la commande latex \underbrace n'est pas prise en visualisation.

Gui82

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Re : Hyperplans

Bonjour,

Pour [tex](x,y,z) \in H_1,[/tex] on a [tex](x,y,z)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1),[/tex] ce qui donne une base de [tex]H_1[/tex]

Roro

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Re : Hyperplans

Bonjour danielrene,

Je vais reprendre ce que tu as écris en essayant d'être critique comme tu le demandes :

Soit E=$\mathbb{R}^{3}$ et H$_{1}\,=\, \{(x,y,z) \, \in \, \mathbb{R}^{3}\;|\;  x+y+z=0 \}$, alors H$_{1}$ est un hyperplan de E.

D'où vient le "alors" ???

D'après le cours c'est plan vectoriel de dimension 2 et d'équation $x+y+z=0$.

Ça dépend du cours et donc du contexte dans lequel tu fais ça... parce que le "alors" précédent est aussi dû au cours ?

Il reste à déterminer la base de H$_{1}$.

Le problème ici, c'est qu'on ne sait pas ce que tu veux faire : il aurait mieux valu donner un énoncé complet au préalable de ce que tu voulais résoudre.

Dans l'équation $x+y+z=0$ on choisit arbitrairement d'exprimer $z$ en fonction de $x$ et $y$ ce qui donne $z=-(x+y)$. Dans la base $B_{E}=\{ e_{1},e_{2},e_{3}\}$ le vecteur est
\[ u =
x e_{1}+y e_{2}-(x+y) e_{3}\]

Ici, on ne sait pas ce qu'est ce vecteur $u$ qui apparaît.
Et la base, elle est donnée au début ? C'est une base de $\mathbb R^3$ ?

Peut-on décomposer $u$   de la façon suivante
\[u  \; =\; \hspace{6mm} \underbrace{xe_{1}+y e_{2}}_{\text{Plan vectoriel}} \qquad  - \qquad   \underbrace{(x+y) e_{3}}_{\text{Droite}}\]

Ce qui manque ici, c'est surtout de savoir ce que tu veux faire : apparemment tu veux déterminer une base de $H_1$. Est ce que tu as obtenue une base à la fin ? Si oui, ou est-elle écrite ?

Roro.

Dernière modification par Roro (18-09-2024 12:11:46)

danielrene

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Re : Hyperplans

Bonjour Roro,

Excellente réponse et excellente rédaction. C'est exactement ce que j'attendais.

Toute ma reconnaissance.
danielrene