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bibmgb

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Algèbre isomorphisme

Bonjour,
Soit [tex]\varphi : \mathcal{P}(\Omega) \rightarrow \left(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right)^{\Omega}[/tex] qui à [tex]E [/tex] associe [tex]f_E[/tex] où [tex]f_E(x)=\overset{\cdot}{0}[/tex] si [tex]x\in E[/tex] et [tex]f_E(x)=\overset{\cdot}{1}[/tex] si [tex]x\notin E[/tex].

On demande de montrer que pour tous [tex]E,F\subset\Omega[/tex], [tex]\varphi(E\triangle F)=\varphi(E)+\varphi(F)[/tex].
L'idée est de montrer que [tex]\varphi[/tex] est compatible avec les lois [tex]\triangle[/tex] et [tex]+[/tex].

Je n'y arrive pas. En effet si je prends [tex]x\in E\backslash F[/tex] alors [tex]x\in E\triangle F[/tex] donc [tex]\varphi(E\triangle F)(x)=\overset{\cdot}{0}[/tex]. Par ailleurs, [tex]\varphi(E)(x)+\varphi(F)(x)=\overset{\cdot}{0}+\overset{\cdot}{1}=\overset{\cdot}{1}[/tex]. Ces deux fonctions ne sont donc pas égales.

Je ne comprends pas quelle est mon erreur. La voyez-vous ?
Merci.

Fred

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Re : Algèbre isomorphisme

Bonjour,

  Dans ce que tu as écrit, je ne vois pas d'erreur. Est-ce qu'il n'y pas une inversion dans la définition de $f_E(x)$ entre le cas $x\in E$ et le cas $x\notin E$?

F

bridgslam

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Re : Algèbre isomorphisme

Bonjour,

Vous avez du inverser les valeurs dans l'énoncé...
A mon avis.

A.

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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bibmgb

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Re : Algèbre isomorphisme

J'ai vu cette fonction définie comme ceci dans une vidéo de maths adulte sur la fonction indicatrice. L'enseignant note cette fonction [tex]\underline{\mathbb{1}_E}[/tex] et non [tex]\mathbb{1}_E[/tex] en précisant que ce n'est pas tout à fait la fonction indicatrice de E (c'est celle de son complémentaire).
Par contre si on prend la fonction indicatrice de E dans la définition, effectivement ça marche, on a l'égalité demandée.
Merci pour vos réponses.