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#1 06-09-2024 09:32:35
- brand.s
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Dérivée de |cos(x)|
Bonjour,
Je suis en tout début de L1 maths.
Hier, je suis tombée sur la phrase suivante dans un livre.
《On a P : |cos(x)|' = |sin(x)|. Démontrer en une phrase que l''affirmation P est fausse》
Les valeurs absolues peuvent avoir un point anguleux (je sais à vue de nez ce que c'est, mais je n'ai d'ailleurs pas encore cherché la définition formelle). Donc, la phrase serait : 《|cos(x)| n'est pas entièrement dérivable sur |R》, ou, pour être plus rigoureux peut-être : 《Il existe au moins un x réel tel que |cos(x)| n'est pas dérivable》.
1. Cette proposition de réponse/le raisonnement est-il juste ? Je précise que le livre n'a pas précisé d'intervalle d'étude, donc je suppose que c'est |R par défaut.
2. |cos(x)| n'est peut-être pas dérivable en pi et 2 pi (modulo 2pi), mais ne peut-on pas dire tout de même que |cos(x)| est dérivable sur des intervalles excluant ces exceptions ? Dans ce cas, des indices pour bien rédiger en langage mathématique ?
En vous remerciant d'avance,
Cdlt
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#4 07-09-2024 18:04:33
- bridgslam
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Re : Dérivée de |cos(x)|
Bonjour,
Dommage de tomber sur des énoncés pourris de ce type
, le minimum étant de quantifier la variable et d'indiquer le référentiel ensembliste...
Bref, admettons que la variable x concerne tous les réels pour lesquels la fonction donnée y soit dérivable, pour fixer les idées... a priori c'est une réunion dénombrable d'intervalles ouverts, symétrique par rapport à 0 ( on enlève les multiples impairs de $\pi/2$ ).
Il suffit alors de voir que x-> sin x n'est pas la fonction nulle sur cette partie ( $\pi/4$ est bien dans la partie évoquée, et on connaît son sinus dès la classe de première, dans mes souvenirs)
En effet la dérivée devrait être à la fois impaire ( comme dérivée d'une fonction paire) et paire, donc nulle, si la propriété était vraie.
P est donc fausse.
La réponse courte peut-être : "parce-que parmi les points réels où la question a un sens ( cosinus non nul), le sinus n'est pas toujours nul".
Plus généralement, il me semble bien que si f est paire ou impaire et dérivable aux points où elle ne s'annule pas, alors
la dérivée de |f| n'est pas une fonction h paire non nulle.
En particulier les actions de dérivation et de valeur absolue ne peuvent pas commuter.
Avec f=cos et h=|sin|, on retrouve la question précédente, dont la réponse est donc négative.
J'imagine que celui qui a posé ce sujet aurait pu fourvoyer le lecteur en posant benoîtement la question au lieu de donner la réponse, vu que la dérivée de cos est -sin...
En tous cas, on n'aura pas plus de chance avec la propriété $Q: | tan(x) | ' = 1 + tan^2 (x)$ , par exemple
A.
Dernière modification par bridgslam (08-09-2024 13:53:04)
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#5 09-09-2024 14:14:52
- DeGeer
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- Messages : 80
Re : Dérivée de |cos(x)|
Bonjour
Je pense que ton réflexe d'étudier la dérivabilité de la fonction est le bon. D'une manière générale, la première question à se poser devant un objet mathématique, c'est si un tel objet existe ou est bien défini.
Si tu veux étudier la dérivabilité de la fonction, commence par vérifier qu'elle est périodique pour restreindre l'étude à un intervalle, puis essaye de trouver en quels points de cet intervalle la fonction risque de ne pas être dérivable. D'ailleurs, tu peux te contenter de trouver un point où la fonction n'est pas dérivable pour contredire l'assertion (dans la mesure où on considère qu'elle a un sens, ce qui n'est pas vraiment le cas ici faute de quantificateurs).
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#6 10-09-2024 09:44:11
- bridgslam
- Membre
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- Messages : 1 416
Re : Dérivée de |cos(x)|
Bonjour,
Le champ où se ballade x n'étant pas précisé, j'ai tout de même agréé le fait que la propriété concernait les x où l'expression a un sens... donc où l'expression de gauche est dérivable.
C'est tout le problème avec ce genre d'énoncé, où on se demande s'il ne faut pas simplement souligner l'erreur bestiale...
Un prédicat avec une variable non quantifiée induit normalement par convention implicitement de le considérer avec le $\forall $ portant sur cette variable, mais à mon sens encore faut-il que le prédicat ait une signification.
L'intérêt de regarder ensuite du côté des parités est juste d'éviter de s'interroger sur les monotonies par sous-intervalles... et il suffit de voir alors la non nullité de la fonction à droite de l'égalité.
A.
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