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Kornetzky

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Médailles

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre cet exercice:
Dans une compétition sportive qui a duré n jours (n strictement supérieur à 1), m médailles ont été distribuées. Le premier jour, on a distribué une médaille plus 1/7 des m-1 médailles restantes. Le deuxième jour, on a distribué deux médailles plus 1/7 du nouveau reste et ainsi de suite  de telle manière que le nième jour, on a distribué exactement les n médailles qui restaient. Déterminer les entier m et n.

Je ne demande pas la réponse mais seulement une idée de piste.
J'ai déjà dit que u(n+1) =n+1 +1/7(m-(u(n)+n+1)) mais je n'arrive à rien.
Merci d'avance pour votre aide.

Roro

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Re : Médailles

Bonjour,

Je ne suis pas convaincu qu'il existe une solution à ton problème !

Es-tu certain de l'énoncé ?

Roro.

bridgslam

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Re : Médailles

Bonjour,

6 jours, 36 médailles ( d'or j'espère)  ?

▼un indice

Le nombre de médailles de départ peut être un multiple de 6 et égal à 1 modulo 7, ce qui facilitera le fait qu' après la première distribution, tous les reliquats sont des multiples de 6...

A.

Dernière modification par bridgslam (08-09-2024 17:13:25)

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Roro

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Re : Médailles

Oui !!!

Je m'étais complètement égaré avec des calculs "compliqués" en essayant de déterminer l'expression exacte des médailles distribuées chaque jour...

Bien vu Bridgslam.

Petite question quand même : la solution peut se trouver de tête en tâtonnant un peu (car en effet, on se rend vite compte que le nombre de médailles de départ doit être un multiple de 6 et égal à 1 modulo 7) mais c'est un "peu" de la chance que 36 fonctionne...

Roro.

Dernière modification par Roro (08-09-2024 11:55:00)

Kornetzky

Invité

Re : Médailles

Mais comment vous voyez que ça doit être un multiple de 6 et égale à 1 modulo 7?

Kornetzky

Invité

Re : Médailles

Oui mais je ne comprends pas votre première phrase.
m, c'est le total des médailles et je n'arrive pas à voire le rapport avec le nombre 6 et les quotients.

Kornetzky

Invité

Re : Médailles

Comment on peut être sûr que le nombre médailles donné par exemple au 5 ième jour sera un multiple de 6?

bridgslam

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Re : Médailles

Bonjour,

Si vous écrivez les choses à chaque étape, cela va s'éclairer, vous pouvez aussi le voir par récurrence.
A l'étape i, vous avez un multiple de 6, faisant la division euclidienne par 7, à l'étape i+1 regardez ce qui reste dans le stock de médailles.

Bonne soirée

A.

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Kornetzky

Invité

Re : Médailles

Mais si je prend l'étape 1 et 2 j'ai: 6(1/7(1+m)) et 6(1/7(m/7-10/21)) mais c pas suffisant pour me baser dessue nan?
Merci pour votre aide et bonne soirée.

Kornetzky

Invité

Re : Médailles

Je crois voire d'où vient mon erreur. Au jour n il ne faut pas soustraire (à m) en plus du reste de médaille au jour n-1 le nombre n

bridgslam

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Re : Médailles

Bonsoir,

Vous pouvez aussi prendre les choses par la fin.
De toute façon après la première action, le stock restant est toujours un multiple de 6.
Donc l'avant-dernier jour il y en a 6 = 6 +7x0, qu'on épuise donc au 6 ième jour,
on remonte un cran avant, il devait y en avoir 5 + 7x1 = 12 , encore un cran avant ça donne 4 + 7x2 ... etc en restant toujours sur des multiples de 6 par pas de 6, jusqu'à la valeur initiale 36 ( valeur au jour 0 si on peut dire, on n'avait encore rien distribué).
Les restes (=J au jour J ) doivent bien décrémenter de 1, avec conjointement des quotients qui s'incrémentent de 1, afin de rester parmi les multiples de 6 (  7 - 1 = 6) par pas de 6.

C'est peut-être plus clair pour vous comme cela.

A.

Dernière modification par bridgslam (09-09-2024 07:57:10)

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Kornetzky

Invité

Re : Médailles

Je suis désolé mais je ne comprend toujours pas pourquoi m est un multiple de 6.

bridgslam

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Re : Médailles

Bonsoir,

Au jour 0 (J0) , il y en a m ( inconnu ). On va commencer la distribution le lendemain.
Donc à J1, on retire 1 de m, et de  m-1 on prend 1/7 (entier) , donc m-1 = 7q, ainsi on retire q de m-1 = 7q, il reste donc 6q dans le stock, disponible pour J2.
Arrivé à J2 on recommence, un calcul similaire montre qu'on obtient encore comme nouveau stock un multiple de 6, disponible pour J3
Etc...

Le plus simple (et rapide) pour la fin est de dire qu'à la fin le multiple de 6 est ... 6 et qu'on en retire 6, donc ça s'est passé en 6 jours.
On remonte ensuite comme je vous l'ai dit... 6, ..., 24, 30. La veille il y en avait donc 36.

Pour voir si vous avez compris, se donner la même question avec des fractions 1/5.

▼ce que vous devriez trouver

16 médailles distribuées sur 4 jours...

En fait, avec un facteur $1/\lambda$ on trouvera toujours un stock de $(\lambda - 1)^2$ médailles à distribuer sur $\lambda - 1$ jours.

Bonne nuit

A.

Dernière modification par bridgslam (09-09-2024 10:06:09)

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Kornetzky

Invité

Re : Médailles

Merci beaucoup pour votre aide, j'ai compris!
Bonne journée.

bridgslam

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Re : Médailles

Bonjour,

De rien. Je vous ai donné une méthode "algorithmique" qui fonctionne (basée sur la simplicité pour un candidat simple à voir) , mais rien ne garantit l'unicité, qui est plus difficile à prouver.
Je regarde ce soir, je vous tiendrait au courant si j' ai bien avancé.

Cordialement,

Alain

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bridgslam

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Re : Médailles

Bonsoir,

Eh bien c'est effectivement le cas, je vous rédigerai la preuve proprement demain.

Si on écrit la suite des stocks successifs ( avec même pourquoi pas un stock m initial réel quelconque, imaginer une quantité d'or liquide ;-) , on donne 1 dl d'or + 1/7 etc )
on peut exprimer m ( en scrutant la suite ) en fonction de r afin qu'au rang n = r , précisément le stock soit nul.
On cherche la condition (cns) pour que m soit effectivement un entier. On découvre arithmétiquement et un peu d'analyse que c'est impossible si r > 6, puis que r doit être égal à 6 (on avait déjà vu que c'était aussi de toute façon un multiple de 6 comme des grands).
L'expression de m en fonction de r donne finalement m = 36. C'est la condition nécessaire pour que la question soit soluble.
Si on n'avait pas fait déjà le travail dans nos autres posts, il faudrait évidemment vérifier que la suite obtenue à partir de m=36 est jusqu'à 0 (au rang 6) à valeurs entières positives, sait-on jamais...).
C'est finalement une sorte d'analyse synthèse, indispensable pour l'unicité !

Ouf, si vous en avez d'autres comme ça je suis preneur!

Alain

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bridgslam

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Re : Médailles

Bonjour,

Prouver l'unicité en se basant uniquement sur l'arithmétique ne semble pas facile.
On reprend donc l'étude en se plaçant dans un cadre plus général au moyen des suites (réelles).

Je masque, au cas où la recherche vous titillerait.

▼la démarche, détails des calculs estompés

Je note $s_n$ la valeur du stock restant une fois faite la distribution le jour n, avec $s_0 = m$, le stock initial, considéré comme une valeur réelle positive donnée.

On raisonne par analyse-synthèse, en espérant déjà qu'à un rang $n_0$ le stock sera tombé à zéro.

Expression de la suite par récurrence:
On montre sans difficulté: $\forall n, \;1 \le n \le n_0 \;\; s_n = 6/7( s_{n-1} - n)$ et en effet il sera impossible de poursuivre après un stock devenu nul.

On n'est pas loin d'une suite géométrique, et on peut regarder si une suite arithmétique $u_n$ ne pourrait pas vérifier cette relation de récurrence.
On trouve effectivement qu' elle doit avoir pour raison $-6$, et que $u_0 = 36$.
On rejoint par ce détour provisoire la suite $s_n$ et, par différences,  où la suite $u_n$ apparait on en calcule son expression (calcul fastidieux mais sans aucune difficulté sachant qu'il est facile de voir que $s_n - u_n $est géométrique...):
$s_n= 36 - 6n +(6/7)^n(m-36)$ dans la tranche de $ 1 \le n \le n_0$ bien-sûr.
Au moyen d'une suite particulière (arithmétique, à valeurs entières, et qui réalise notamment une solution avec annulation au bout de 6 jours),  on a juste déterminé le champ de toutes les familles possibles candidates pour le problème. Rien ne dit que d'autres suites ne répondent pas aussi à la question, avec annulation au bout d'un nombre de jours différent de 6 ( par-contre on sait que ce sera forcément un multiple de 6, en se plaçant dans le contexte arithmétique).
Le paragraphe va nous apporter un nouvel éclairage sur l'unicité.

Pour répondre sans oublier de suites valables, on se demande d'abord (puisque le sort de nôtre suite en dépend exclusivement) quelles valeurs réelles de $m = s_0$ rendent possible la nullité de la suite ( question toujours ballante au rang $n_0$ quelconque  avec l'expression générale ).
En utilisant l'expression générale précédente, on trouve une valeur réelle unique $m = (n_0 - 6) \frac {7^{n_0}}{6^{n_0-1}}+ 36$ ( liée au rang $n_0$ variable).

Pour rejoindre la question des médailles (m entier ainsi que toutes les distributions jusqu'au jour fatidique), on n'a pas le choix cette valeur de m trouvée doit être entière.
Il faut et il suffit pour cela que $6^{n_0-1} divise \;\; n_0 - 6$ d'après le théorème de Gauss, 6 et 7 étant premiers entre eux.

La taille respective de ces deux entiers induit que ce n'est possible que si $n_0 - 6$ est nul.
En remplaçant,dans l'expression de $m$,  $ n_0 $ par 6, on tombe bien sur la seule possibilité $m = 36$.
La séquence positive de la suite arithmétique précédente est donc bien la seule qui convienne.

Pour résumer: une valeur de m réelle adaptée permet toujours l'annulation de la suite récurrente à un rang choisi par avance.
Parmi toutes ces suites, seule 36, 30, 24, .... ,0, qui se termine en 6 jours, permet de parler de "nombres de médailles".
Elle correspond au début positif de la suite arithmétique qui a justement servi à déterminer l'expression de toutes les suites (à valeurs entières ou pas).

Une exploitation uniquement arithmétique de la question (notamment en utilisant des congruences), sans passer par cette famille de suites, me laisse perplexe,
je n'ai pas trouvé d'arguments concluants.

A.

Dernière modification par bridgslam (11-09-2024 20:59:06)

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