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Peterouchikh

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une limite pathologique !!

BSR à Toutes et Tous !!
Voilà un petit exo tout mignon. Il est pathologique car j'aime bien sortir des sentiers battus et d'un certain classicisme ennuyant
Soit $f$ une fonction continue sur $[0, +\infty[$, telle que $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=l$, $l\in\mathbf{R}$, $l>0$. et $f(0)+f(1)+...+f(n)\ne 0$
quel que soit $n\in\mathbf{N}$. Il s'agit de montrer que :

                                                                                                    \[\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\left[\dfrac{\int_{0}^{n} f(t) \,dt} {f(0)+f(1)+...+f(n)}\right]=1\]

J'ai essayé d'appliquer la définition d'une limite d'une suite , en fixant un $\epsilon>0$, et chercher un rang pour laquelle on a

$$\displaystyle\left\lvert \dfrac{\int_{0}^{n} f(t) \,dt} {f(0)+f(1)+...+f(n)}-1\right\rvert<\epsilon$$
c-à-d
$$\displaystyle\left\lvert \int_{0}^{n} f(t) \,dt-\sum_{i=1}^{n} f(i) \right\rvert < \epsilon \sum_{i=1}^{n}\lvert f(i)\lvert $$

Je sais que ,puisque $f(n)$ tend vers $l$, $\sum_{i=1}^{n}\lvert f(i)\lvert$ peut être, a partir d'un certain rang, majorée par quelque chose dépendant  de $l,n$ et $ \epsilon $ et c'est ici que je bloque !!

Roro

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Re : une limite pathologique !!

Bonjour,

Ta question me fait penser à l'approximation du calcul d'une intégrale par la méthode des rectangles.
J'écrirai donc
$$\int_0^n f(t) dt = \sum_{k=0}^{n-1} \int_k^{k+1} f(t) dt$$
et j'approcherai $\int_k^{k+1} f(t) dt$ par $f(k)$... mais évidemment il faut utiliser quelque part la limite de $f$ en $+\infty$ ce qui n'est sans doute pas si facile...

Le résultat demandé me semble faux : par exemple si $f$ est une fonction telle que $f(0)=1$ et $f(x)=0$ pour tout $x\geq 1$ alors on a, pour tout $n\in \mathbb N$ :
$$\int_0^n f = \int_0^1 f \qquad \text{et} \qquad f(0)+f(1)+...+f(n) = f(0)$$
Dans ce cas, je pense qu'on peut difficilement toujours affirmer que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{\int_0^1 f}{f(0)} = 1$.

Suite au échanges ci-dessous (cf. message #6 de bridgslam), les fonctions mises en avant ici tendent vers $\ell=0$ alors que l'énoncé annonce que le résultat est vrai dès lors que $\ell>0$. Il ne s'agit donc pas de contre-exemples...

Roro.

Dernière modification par Roro (08-09-2024 14:05:37)

bridgslam

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Re : une limite pathologique !!

Bonjour

Sa fonction est continue par hypothèse.

Je regarderai vers Césaro...

A.

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Roro

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Re : une limite pathologique !!

Bonjour Bridgslam,

Sa fonction est continue par hypothèse.

La mienne aussi !
Elle peut même être de classe $\mathcal C^\infty$ si tu veux...

$$f(x)=\mathrm{exp}(\frac{x}{x-1}) \quad \text{lorsque $0\leq x < 1$}$$
prolongée par $0$ sur $[1,+\infty[$.

Roro.

Dernière modification par Roro (08-09-2024 10:04:01)

bridgslam

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Re : une limite pathologique !!

Bonjour,

Oui mal lu effectivement. J'ai pris ton 1 pour 0.
Bonne journée

Alain

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bridgslam

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Re : une limite pathologique !!

Re,

Par-contre il indiquait la limite l de f non nulle, il me semble que tes fonctions tendent vers 0 (sauf erreur) ?

A.

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Roro

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Re : une limite pathologique !!

En effet, mon "contre-exemple" n'en est pas un... et le résultat est donc peut être juste !

Roro.

Totototo

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Re : une limite pathologique !!

Bonjour,

Constatez que
1) l'intégrale $\int_{0}^{+\infty} l dt$ est une intégrale divergente d'une fonction positive,
2) la série $\sum l$ est une série à termes positifs divergente.
Puis utilisez les résultats classiques (sinon à démontrer ou bien chercher une preuve sur internet) d'intégration et de sommation d'équivalents.

bridgslam

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Re : une limite pathologique !!

Bonjour,

Il l'est sans doute, le dénominateur est équivalent à nl ( théorème de Césaro ).
On peut montrer normalement qu'il en est de même avec le numérateur, au moyen des séries et/ou intervention des opérations somme et intégrale, je pense.
Il y a eu un autre fil sur un sujet quasi-équivalent, auquel Totototo (il me semble ) avait pris part (sauf erreur).

A.

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Peterouchikh

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Re : une limite pathologique !!

Bonjour,

Merci pour vos suggestions.

J'ai oublié d'indiquer que c'est exo niveau sup. en fait , on a pas encore fait les séries

bridgslam

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Re : une limite pathologique !!

Bonsoir,

Alors vous pouvez en principe vous inspirer du théorème de Césaro,et la décalquer avec des intégrales au lieu de sommations discrètes, je ne l'ai pas écrite mais on doit retomber sur ses pieds sauf erreur.

A.

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Peterouchikh

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Re : une limite pathologique !!

Bonsoir

J'ai réussi à prouver que $\int_{0}^{n} f(t) \,dt$ et $\sum_{i=1}^{n} f(i)$ sont tous les deux  équivalents à $nl$  (par par le biais de Cesàro)

Merci bcp pour votre aide

bridgslam

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Re : une limite pathologique !!

Bonsoir,

De rien, avec plaisir. Et bravo pour la bonne orthographe du mathématicien...

A.

Dernière modification par bridgslam (08-09-2024 22:34:05)

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bridgslam

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Re : une limite pathologique !!

Bonsoir,

Le lemme de Cesàro permet de se sortir de situations délicates.
Si ça vous intéresse, ce fil était intéressant ( avec une bonne étude de suites au passage ) à ce sujet:
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=15634

A.

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Peterouchikh

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Re : une limite pathologique !!

Bonjour,

Merci bcp