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Omhaf

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Sommes de carrés

Bonjour à tous
Découvert par hasard !
Soustraction des carrés des nombres médians d'un carré impair
49)   25² - 24² = 7²     sachant que   25 + 24 = 49 = 7²
81)   41² - 40² = 9²     sachant que   41 + 40 =  81 = 9²
121) 61² - 60² = 11²   sachant que   61 + 60 = 121= 11²

Soustraction des carrés des nombres médians d'un carré pair
64)    34²-30²= 16²   (16= 2x8) 
100)  52²-48²= 20²   (20= 2x10)
144)  74²-70²= 24²   (24=2 x12)

Quelqu'un a une explication svp ?  ou bien cela rentre dans une loi que je n'arrive pas à identifier ?

Merci pour vos contributions

@+

Dernière modification par Omhaf (15-08-2024 01:49:38)

Bernard-maths

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Re : Sommes de carrés

Bonjour à tous !

Au pif comme je le sens :

si n est un entier, alors : (n+1)² - n² = (2n + 1) * 1 ... Il faut que 2n+1 soit un carré ! Et y'en a un paquet.

De même : (n+4)² - n² = (2n+4)*4 = 2²*2(n+2) ... Il faut que 2(n+2) soit un carré ! Et y'en a !

Voilà, on doit pouvoir approfondir pour diverses situations ???

Bernard-maths

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Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !

yoshi

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Re : Sommes de carrés

Bonjour,

Ça me fait furieusement penser aux triplets Pythagoriciens.
Pour reprendre la présentation de l'insatiable chercheur qu'est Omhaf :
(9)      5² - 4²    =    25 - 16    =   9  et   9 =  3² c'est le célèbre triangle rectangle 3,4,5...
A partir de celui-ci on peut obtenir des triangles rectangles dont les dimensions sont 3k, 4k, 5k avec par exemple $k impair \in \mathbb N^*$
(25)  13² - 12²   =  169 - 144  = 25  et 25 =  5² 
(49)  25² - 24²   =  625 - 576  = 49  et 49 =  7²
Les suivants seraient :
(81)    41² - 40²  = 1681 - 1600 =   81  et  81  = 9²
(121)  61² - 60²  = 3721 - 3600 = 121  et  121 =11²
(169)  85² - 84²  = 7225 - 7056 = 169  et  169 =13²

ll faut remarquer  que 5-4 = 13-12 =25-24 = 41-40 = 60-60 = 85-84 = 1
C'est cela qui a attiré mon attention...
A partir de n entier naturel impair >1, Pythagore avait montré que les triplets $\left(n,\,\frac{n^2-1}{2},\,\frac{n^2+1}{2}\right)$ étaient les longueurs des côtés de triangles rectangles.
Et on voit que $\frac{n^2+1}{2}-\frac{n^2-1}{2}=1$

Si je reprends la famille des triplets (3k, 4k, 5k) avec k= 3 le triplet devient (9, 12, 15) et on a 15² - 12² = 225 - 144 = 81 = 9²

La formule du triplet $\left(n,\,\frac{n^2-1}{2},\,\frac{n^2+1}{2}\right)$ est la plus simple, il y en a d'autres plus générales, je suis tombé dessus, il y a quelques mois, pas sûr que je les retrouve...

A tout hasard (et ça rigole pas...)
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/LopezC.pdf
ou encore :
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/~mbo … iciens.pdf

@+

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Omhaf

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Re : Sommes de carrés

Bonjour à tous,
Heureux de vous lire Bernard Maths et yoshi

Effectivement! cela rappelle le triplet pythagoricien

Pouvez-vous confirmer cette assertion S.V.P ?
la somme des 2 grands nombres d'un  triplet pythagoricien= au carré du plus petit et la  soustraction de leurs carrés= au carré du plus petit ?
(c'est en quelque sorte  la définition générale de ce qui a été présenté ci-dessus).
Merci.
@+

Dernière modification par Omhaf (15-08-2024 19:27:24)

yoshi

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Re : Sommes de carrés

RE,

Omhaf, serais-tu fâché avec le calcul littéral ?
Somme des 2 grands nombres :
$\frac{n^2-1}{2} +\frac{n^2+1}{2}=\frac{n^2-1+n^2+1}{2}= \frac{2n^2}{2} =n^2$
Pour la somme, c'est ok...

Différence des 2 grands nombres :
$\frac{n^2+1}{2}-\frac{n^2-1}{2}=\frac{n^2+1-(n^2-1)}{2}= \frac{n^2+1-n^2+1}{2} =\frac 2 2=1$

Là, tu as dû mal formuler ta demande...

@+

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Omhaf

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Re : Sommes de carrés

Re,
Non yoshi je parlais des carrés impairs,
(La somme des 2 grands nombres d'un  triplet pythagoricien= au carré du plus petit)
exemple : 5+4=3²
(soustraction de leurs carrés= au carré du plus petit )
exemple  5²-4²=3²
d'où :  5+4=5²-4²( à condition qu'ils soient pythagoriciens)
@+

Dernière modification par Omhaf (15-08-2024 21:27:47)

yoshi

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Re : Sommes de carrés

Re,

Ok, j'ai lu un peu vite et zappé les 2 mots "les carrés"... Tous mes regrets.
Donc :

la différence des carrés des  2 grands nombres d'un  triplet pythagoricien= au carré du plus petit

Voilà :
$\left(\frac{n^2+1}{2}\right)^2-\left(\frac{n^2-1}{2}\right)^2= ?$
Je vais factoriser cette différence de 2 carrés, plutôt que développer, c'est plus simple
$\left(\frac{n^2+1}{2}\right)^2-\left(\frac{n^2-1}{2}\right)^2=\left(\frac{n^2+1}{2}+\frac{n^2-1}{2}\right)\left(\frac{n^2+1}{2}-\frac{n^2-1}{2}\right)=\frac{2n^2}{2}\times \frac 2 2=n^2 \times 1= n^2$
Assertion vraie.

------------------------------------------------------------

la somme des 2 grands nombres d'un  triplet pythagoricien= au carré du plus petit

Ça c'est déjà fait, j'avais montré que c'était vrai.

Tes assertions sont donc vérifiées. Satisfait ?
@+

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Omhaf

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Re : Sommes de carrés

Re,
Merci yoshi.
Comme tu le remarques, je ne suis pas un théoricien dans les maths mais plutôt  quelqu'un qui contemple ce beau tableau qui s'appelle Mathématiques et qui essaie de critiquer ( positivement) certaines touches dans sa beauté pour comprendre pourquoi la plume de l'artiste l'a fait

@+

syrac

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Re : Sommes de carrés

Bonjour,

$(n+x)^2-n^2=x \, (2\,n+x)$

$x \, (2\,n+x)=m^2$

$m=\sqrt{x} \, \sqrt{2\,n+x}$

$x$ doit être un carré, raison pour laquelle les exemples du premier message fonctionnent avec 1 et 4.

Avec $n$ donné, le plus simple est de calculer $2\,n+$un carré jusqu'à ce que le résultat soit lui-même un carré.

yoshi

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Re : Sommes de carrés

RE,

je me suis "embêté" (bon, c'était quand même plutôt simple comme calcul) pour rien.
Le calculs étaient inutiles pour la différence des carrés...
Il est acquis qu'un triplet Pythagoricien donne les valeurs des côtés d'un triangle rectangle, donc :
$n^2+\left(\frac{n^2-1}{2}\right)^2=\left(\frac{n^2+1}{2}\right)^2$
Théorème de... Pythagore !!!

De là on tirait - sans calculs - 2 égalités :
$\left(\frac{n^2-1}{2}\right)^2= \left(\frac{n^2+1}{2}\right)^2-n^2$
et
$n^2=\left(\frac{n^2+1}{2}\right)^2-\left(\frac{n^2-1}{2}\right)^2$, celle qui t'intéressait...

@+

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yoshi

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Re : Sommes de carrés

Bonjour,

Allez, j'en rajoute une couche...
Considérons un triangle ABC rectangle en C.
Cette différence des carrés est déjà connue des élèves de 4e, elle leur permet de calculer la longueur d'un côté de l'angle droit connaissant celle de l'hypoténuse et celle de l'autre côté de l'angle droit

Traditionnellement alors, 
- la longueur de l'hypoténuse est notée c
- celle du côté opposé à B, b.
- celle du côté opposé à A, a.
Le théorème de Pythagore permet d'écrire, $\forall, a, b, c \in \mathbb R$ : $a^2+b^2=c^2$
On en tire :
$c^2-b^2=a^2$  et $c^2-a^2=b^2$

@+

Dernière modification par yoshi (18-08-2024 16:09:12)

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Omhaf

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Re : Sommes de carrés

Bonjour,
Tu as impliqué le thorème de Pythagore ce qui est vrai , mais le point sur lequel je voulais attirer l'attention est la magie des nombres médians d'un carré impair que je ne connaissais pas auparavant.
C'est en quelque sorte une nouvelle manière de retrouver facilement des côtés d'un triangle rectangle avec des valeurs entières
@+

Dernière modification par Omhaf (18-08-2024 19:26:21)

Omhaf

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Re : Sommes de carrés

Re,
J'ai pris un nombre impair au hasard  137

137²= 18769
Les 2 nombres médians de ce carré sont : 9385  et 9384

j'ai soustrais leur carrés
9385² - 9384² =88 078 225 - 88 059 456 = 18769=137²
à toute fin utile (si utilité se confirme) ...
@+

yoshi

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Re : Sommes de carrés

salut,
:

Bon, à mon tour de prendre un nombre impair au hasard
$n=37181$, comme ça les carrés vont être "intéressants" ^_^...
Je trouve donc les 2 autres éléments du triplet Pythagoricien pour lequel
1. 37181 est le petit des 3
2. La différence des 2 autres est 1.

Voici le triplet en question ici :
$\left(37181, \frac{37181^2-1}{2}, \frac{37181^2+1}{2}\right)$
Soit $(37181,\, 698669580,\, 698669581)$
Je redis qu'il est inutile de vérifier que $6 698669581^2- 698669580^2 = 37181^2$

Pourquoi ?
Qui dit triplet Pythagoricien dit triangle rectangle.
Et donc le triangle de côtés 37181, 698669580 et 698669581 étant un triangle rectangle, on peut écrire que m
$698669581^2 = 698669580^2+37181^2$ (théorème de Pythagore)

Partant de là,  je soustrais $698669580^2$ aux deux membres de l'égalité ci-dessus :
$698669581^2 - 698669580^2 = 6912133800^2- 6912133800^2 +37181^2$
Et J'arrive à :
$698669581^2 - 698669580^2 = 37181^2$
sans faire ces calculs :
$698669581^2 -  698669580^2 = 488139183414715561-488139182017376400 = 1397339161$  et $\sqrt{1397339161}=37181$

Cher Omhaf, si les calculs précédents ne sont pas assez dissuasifs, alors je te propose un autre triplet Pythagoricien: :

$(13973391927,\,97627840972774386664,\,97627840972774386665)$

vas-tu aussi vouloir vérifier par le calcul que :
$97627840972774386665^2 - 97627840972774386664^2   = 13973391927^2$ ??   :-))

alors que :
1. Ta vérification sera évidemment concluante : oui, c'est vrai,
2. Qu'il n'y a besoin d'aucun calcul pour ça !

@+

N-B : les carré médians ont 40 chiffres, le carré du plus petit 21.
J'ai, moi, vérifié les calculs...
Je te rassure, je ne suis pas masochiste : je n'ai fait aucun calcul à la main...
Comme j'avais fait en sorte que les calculatrices (ou un tableur) ne soient d'aucun secours (sauf à morceler les calculs de façon astucieuse et de finit avec stylo+papier), j 'ai fait appel à mon logiciel de programmation (Python) qui peut servir de calculatrice où la taille des nombres premiers entiers n'est limitée que par la quantité de mémoire dont dispose l'ordinateur sur lequel ce logiciel est installé...

@+

Dernière modification par yoshi (19-08-2024 20:17:03)

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Omhaf

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Re : Sommes de carrés

Re,
Rien à dire sauf un vif remerciement pour toi yoshi, pour l'intérêt que tu as porté à mes idées et surtout à ta modestie
sans oublier tous ceux qui ont participé à ce débat
à la prochaine trouvaille ;)
@+