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JuanPedro

Invité

problème d'ensemble

Bonjour,
J'essaye de m'introduire aux ensembles mais j'ai remarquer une notation que je ne comprend pas :
{$\forall x |$ une certaine proposition}
enfaite je me dit qu'on peut alors écrire {$\forall x | x \subseteq x$} on se retrouve alors avec l'ensemble de tous les ensembles qui n'existe pas mais pourtant je ne vois pas ce qui dans ma formulation pose problème à part le $\forall x$ sans que x n'appartienne à un ensemble déjà bien définis.

mes questions sont les suivantes :
- est-ce qu'il y a un erreur autre que je n'ai pas vu dans cette formulation ?
- si non, est-ce que écrire $\forall x$ est un abus ?
- comment définir un ensemble sans que cela implique l'existence d'un autre (sans passé par l'énumération de tous ces éléments) ?

Michel Coste

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Re : problème d'ensemble

Bonjour,
$\{ \forall x\mid \text{une certaine proposition}\}$ n'a pas de sens.
Où as tu trouvé ça ? Sois plus précis, donne une référence exacte.

Dernière modification par Michel Coste (16-08-2024 08:27:41)

DeGeer

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Re : problème d'ensemble

Bonjour
On peut définir des ensembles par compréhension : c'est-à-dire l'ensemble des ensembles qui vérifient telle propriété (en théorie des ensembles, tous les objets sur lesquels on travaille sont des ensembles, de plus la propriété doit être écrite ou en tous cas pouvoir être écrite en langage mathématique).
Sauf que cette méthode conduit à des paradoxes. On pourrait notamment définir l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes : si cet ensemble appartient à lui-même alors il n'appartient pas à lui-même; s'il appartient à lui-même alors il n'appartient pas à lui-même.
Il faut donc adopter une méthode plus restrictive, appelée schéma d'axiomes de compréhension : si $E$ est un ensemble et $P$ une propriété mathématique, on peut définir l'ensemble des $x$ tels que $x \in E$ et $P(x)$. Autrement dit, on définit un ensemble par compréhension uniquement à partir d'un ensemble plus grand déjà donné. On évite alors les paradoxes comme celui dont j'ai parlé dans mon paragraphe précédent.

JuanPedro

Invité

Re : problème d'ensemble

Bonjour,
C'est vrai que mon exemple n'étais pas claire je m'en excuse mais voici quelques exemples plus parlant que sont ceux de

- l'égalité entre deux ensemble :
Soient E et F deux ensembles
{$\forall x, ( x \in E \Leftrightarrow x \in F ) \Rightarrow E=F$}

- l'ensemble vide :
$\varnothing =$ {$\forall x, x \notin \varnothing$}

Autrement merci DeGeer pour ta réponse mais donc comment crée-t-on des ensembles sans utiliser un ensemble plus grand ?

DeGeer

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Re : problème d'ensemble

Il y a l'axiome de la paire (si $x$ et $y$ sont deux ensembles, alors la paire $\{x,y\}$ est un ensemble), l'ensemble de la réunion (si $x$ est un ensemble, il existe un ensemble qui contient exactement les éléments des éléments de $x$. Si on applique cet axiome à la paire $\{x,y\}$, on retrouve l'union habituelle $x \cup y$), l'axiome des parties (si $x$ est un ensemble, il existe un ensemble qui contient exactement les sous-ensembles de $x$).

JuanPedro

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Re : problème d'ensemble

Merci beaucoup !
Dans les exemples que j'ai donnés il y avait celui de l'ensemble qui existe d'après un axiome mais donc comment fait-on pour définir proprement cet ensemble ?

JuanPedro

Invité

Re : problème d'ensemble

ensemble vide*

bridgslam

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Re : problème d'ensemble

Bonjour

JuanPedro , ce n'est pas une définition de l'ensemble vide car vous le définissez en l'utilisant en même temps.
Par contre on le définit en général avec l'axiome de sélection + l'axiome de l'infini ( qui stipule donc aussi que l'univers des ensembles   n'est pas vide ( au sens intuitif) ), puis en considérant la relation $x \ne x$ dans un ensemble.

On peut aussi regrouper en un seul l'axiome de sélection-réunion, entre autres avec la notion de prédicat collectivisant.
De mémoire il y a 7 ou 8 axiomes dans la théorie ZFC, qui stipulent ce que l'on peut faire sans tomber dans des paradoxes.
Cela devient très intéressant lorsque l'on considère une classe d'ensembles particuliers, les ordinaux, pour lesquels appartenance et inclusion se confondent.
A une époque le site de David Madore présentait cette notion de façon imagée et humoristique à travers une visite d'une galerie
de peinture, où il est dur de ne pas attraper le vertige vers la fin...

Alain

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

JuanPedro

Invité

Re : problème d'ensemble

Bonjour, merci pour votre réponse,
qu'est ce que vous appeler "l'univers des ensembles" ?

bridgslam

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Re : problème d'ensemble

Re-bonjour ,

On ne peut pas tout définir.
La théorie des ensembles permet de réduire le substrat au minimum.
Il y en a plusieurs possibles.
Le "contenant" des objets qui serviront à faire des maths, dits "ensembles", s'appelle normalement l'univers.
C'est plus pratique de lui donner un nom, qu'à avoir à faire des périphrases par la suite.
Le débat est peut-être de se demander quel objet il est, s'il en est un, vu qu'on lui donne un nom.
La plupart des axiomes sont en accord avec le sens commun,
d'autres un peu moins, mais il fallait bien "légiférer" pour avoir un socle solide.

Après, si on veut vraiment éplucher la théorie, on est vite confronté à des questions à la frontière de la logique, sur lesquelles il n'est pas nécessairement très rentable ( côté timing) de s'apesantir, sauf pour les spécialistes.

Alain

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Michel Coste

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Re : problème d'ensemble

Les formules que tu écris ne sont pas syntaxiquement correctes.

{$\forall x, ( x \in E \Leftrightarrow x \in F ) \Rightarrow E=F$}
Pourquoi ces accolades extérieures ?
Il vaut mieux parenthéser pour éviter les ambiguïtés sur la porté du quantificateur universel :
$$(\forall x\  ( x \in E \Leftrightarrow x \in F )) \Rightarrow E=F$$

$\varnothing =$ {$\forall x, x \notin \varnothing$}
Pourquoi ces accolades entourant une formule quantifiée ? Quelle est la signification de ce que tu as écrit ?
L'axiome de l'ensemble vide :
$$\exists x\ \forall y\ y \notin x$$