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petitponey

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Application linéaire

Bonjour, je bloque sur l'exercice suivant :
Soient E, F et G trois espaces vectoriels, f : E -> G et g : E -> F deux applications linéaires. Montrer qu'il existe h : F -> G telle que $f = h \circ g$ ssi $Ker(g) \subset Ker(f)$.
Le sens indirect de l'équivalence est immédiat, mais je sèche totalement sur le sens direct. J'ai l'impression qu'il s'agit de construire une application linéaire h de la forme $f \circ \phi$ où $\phi : F \rightarrow E$ linéaire ferait en sorte de "laisser intact le plus possible" les éléments de E lorsqu'on la compose à droite par g (en bref, je veux faire en sorte que $\phi \circ g$ agisse presque comme l'identité).
Des indications ? Merci d'avance

Michel Coste

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Re : Application linéaire

Bonjour,
Tu peux travailler avec une base $\mathcal B$ de $E$, adaptée à $\ker(g)$ et $\ker(f)$ (c.-à-d. telle que $\ker(g)$ et $\ker(f)$ soient engendrés par des vecteurs de $\mathcal B$).

Réponse

Invité

Re : Application linéaire

Bonjour,
Cela ne pose-t-il pas problème que g ne soit pas bijective ?
Puisque s'il existe une tel application h alors cela signifie que $\forall x,y \in E$, g(x)=g(y) => f(x)=f(y)
et je ne vois pas en quoi le fait que ker(g) $\subset$ ker(f) implique cela

Michel Coste

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Re : Application linéaire

Eh bien, Reponse, ça te fait un petit exercice de montrer cette implication. Et n'oublie pas que $f$ et $g$ sont des applications linéaires.

Dernière modification par Michel Coste (09-08-2024 15:17:00)

Reponse

Invité

Re : Application linéaire

Ah bah oui je suis pas le plus futé
(g(x)=g(y) => f(x)=f(y)) <=> (g(x-y)=0 => f(x-y)=0)

Ce qui est vrai par hypothèse de départ puisque ker(g) inclut dans ker(f)

bridgslam

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Re : Application linéaire

Bonjour,

Avec la linéarité, cela revient à dire que si x-y est dans le noyau de g, alors x-y est dans le noyau de f. D'où l'inclusion (faire y =0).

On doit construire ensuite une h répondant à la question, qui soit linéaire, si la condition est vérifiée.

▼une idée

Vous pourrez considérer g(E) et un supplémentaire S de g(E) dans F.
Par nécessité sa restriction à g(E) est unique et pas dure à trouver en fonction de f.
vérifier alors que (par exemple) y -> h( g(x) + s ) = f( x) convient totalement ( définition, linéarité).

cela revient à voir h comme le recollement de deux applications linéaires définies sur des sous-espaces vectoriels( dont l'une est l'application nulle sur S).

Alain

Dernière modification par bridgslam (09-08-2024 15:30:15)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."