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#1 05-07-2024 02:30:30

Lune66
Invité

Boule unité d'un espace vectoriel.

Bonsoir,

On sait que la boule unité d'un espace vectoriel normé de dimension finie est compact pour la norme de cet espace vectoriel.
Quel est l'analogue de ce théorème lorsqu'il s'agit d'un espace vectoriel topologique localement convexe muni d'une famille de semi-normes au lieu d'une norme ?

Merci d'avance.

#2 05-07-2024 07:48:08

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 129

Re : Boule unité d'un espace vectoriel.

Bonjour,

  Sur un espace vectoriel de dimension finie, il n'existe qu'une seule topologie qui soit compatible avec l'addition et le produit externe. Ainsi, tu peux toujours supposer que ta topologie est définie par une norme et non par une famille de semi-normes, et le résultat persiste donc.

F.

Hors ligne

#3 05-07-2024 09:17:19

Eust_4che
Membre
Inscription : 09-12-2021
Messages : 140

Re : Boule unité d'un espace vectoriel.

Bonjour tout le monde,

L'unicité ne vaut que si la topologie de départ est séparée. Il peut y avoir plusieurs topologies localement convexe sur un espace de dimension finie $n$ (les topologies images réciproques de $\mathbf R^p$ pour $p \leq n$).

Le résultat énoncé par Lune66 est une équivalence : pour qu'un espace normé soit de dimension finie, il faut et il suffit que sa boule unité soit compacte. On peut le voir comme un cas particulier d'un théorème plus général : un espace vectoriel topologique séparé $E$ sur un corps valué complet et non discret $K$ qui admet un voisinage de l'origine précompact est nécessairement de dimension finie. Inversement, si $K$ est localement compact et $E$ de dimension finie (et supposé séparé), $E$ est localement compact.

E.

En ligne

#4 05-07-2024 09:27:03

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 129

Re : Boule unité d'un espace vectoriel.

Ah les topologies non séparées !

Hors ligne

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