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#1 13-06-2024 16:52:24

Pol de Tayrac
Membre
Inscription : 19-05-2024
Messages : 6

Continuité de l'application qui aux racines associe le polynôme.

Bonjour, je me demandais si la fonction
[tex]f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[X]\:\:\:(\lambda_1,...,\lambda _n) \rightarrow (X-\lambda_1)...(X-\lambda_n)[/tex]
est continue. Je l'ai vu dans le libre Gourdon d'analyse et il dit qu'elle est continue, mais je n'arrive pas à le prouver.

Hors ligne

#2 13-06-2024 18:08:49

Eust_4che
Membre
Inscription : 09-12-2021
Messages : 140

Re : Continuité de l'application qui aux racines associe le polynôme.

Bonjour,

Tu peux procéder par récurrence à partir de $n \geq 1$ (je ne vois pas comment définir l'application pour $n = 0$).

E.

Hors ligne

#3 13-06-2024 18:54:11

Pol de Tayrac
Membre
Inscription : 19-05-2024
Messages : 6

Re : Continuité de l'application qui aux racines associe le polynôme.

Bonjour, je sais comment faire, avec le critère séquentielle.
Soit  [tex]\lambda _0 \in \mathbb{R}^n[/tex]  et  [tex]\lambda _m \in \mathbb{R}^n[/tex] une suite tendant vers  [tex]\lambda _0[/tex].
Soient  [tex]P_{\lambda_0}[/tex]  et  [tex]P_{\lambda_m}[/tex]  les images correspondentes.
Alors les coefficients de  [tex]P_{\lambda_m}[/tex]  tendent vers les coefficients de  [tex]P_{\lambda_0}[/tex]  puisque elles sont des sommes et produits finis des  [tex]\lambda_i[/tex]. Ceci permet de conclure.

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