Les mathématiques du Dobble

Fred · 01-01-2012 21:48:06

Bonjour,

Ma soirée du nouvel an n'a pas été vaine, j'ai découvert un nouveau jeu qui pose plusieurs questions.
Il s'agit du Dobble. Les règles de ce jeu importent peu, nous ne nous intéressons qu'aux cartes qui le composent.

Ces cartes sont fabriquées en suivant les règles suivantes :
1. Sur une carte, il apparait exactement 8 figures distinctes.
2. Deux figures distinctes étant données, il existe au plus une carte possédant ces deux figures.
3. Deux cartes distinctes étant données, elles ont toujours exactement une figure (et une seule) en commun.
4. Chaque figure apparait sur au plus 8 cartes distinctes.
5. Il y a au moins une figure qui apparait sur 8 cartes distinctes.

Mes questions sont les suivantes : combien de cartes et de figures au minimum et au maximum peut comporter un tel jeu?
Quel algorithme peut on imaginer pour fabriquer les cartes de ce jeu???

A vous lire,
Fred.

Golgup · 02-01-2012 12:31:39

salut,

J'ai trouvé un chiffre (surprenant!) que je crois minimum, suffisant à engager le jeu : 8 (avec 57 figures)

Pour ce faire, on rend commun la figure de la 5 eme règle (celle qui apparaît sur 8 cartes distinctes) avec celle de la 3 eme (auquel cas , d'ailleurs, on n'a pas besoin de la 2 eme règle). On a alors 8 cartes et 1+8*(8-1) figures.

Pour le maximum, c'est autre chose..

a plus

totomm · 02-01-2012 14:56:36

Bonjour,

D'accord avec Golgup si la règle 2 n'impose pas qu'il y ait une carte possédant les 2 figures...
et il n'y a alors pas de maximum car pour chaque figure existant déjà on peut ajouter 8 cartes et 56 figures nouvelles...?

cordialement

Fred · 02-01-2012 21:59:57

Re-

Je suis d'accord pour le minimum, mais pas pour le maximum (il faut bien lire la règle 3).

Fred.

charles · 25-04-2012 13:00:10

salut,

Moi, j'ai répertorié 55 signes.
Les voila:
Ampoule
Ancre
Arbre
Art
Biberon
Bombe
Bonhomme
Bonhomme de neige
Bougie
Cactus
Cadenas
Carotte
Cœur
chat
Cheval
Chien
Cible
Ciseaux
Clé
clé de sol
Clown
Coccinelle
Crayon
Dauphin
Dinosaure
Dobble
dragon
Éclair
Fantôme
Feu
Feuille
Flocon
Fromage
Glaçon
Goutte
Igloo
Interdis
Lune
Lunette
Marguerite
Montre
Œil
OK
Pomme
Soleil
Stop
Tache
Taxi
Tête de mort
Toile d'araignée
Trèfle
Ying-yang
Zèbre
!
?
tadam...

Bon je sais pas si ça va vous aider mé mais bon o au moins vous oré aurez les différents signes du jeu.

salut

Dernière modification par yoshi (25-04-2012 14:40:26)

Fred · 25-04-2012 21:03:58

Hello,

Ce problème est resté trop longtemps en sommeil....

Voici quelques indications :
* il y a au moins 57 figures dans le Dobble : c'est essentiellement le raisonnement que Golgup a présenté dans son post.
* il y a au plus 57 cartes dans le Dobble : prenons une carte du jeu. Chacune des 8 figures de cette carte se trouve sur au plus 7 autres cartes du Dobble, ce qui fournit au total au plus 8*7+1=57 cartes.

La question qui reste est : peut-on fabriquer un jeu comprenant 57 figures et 57 cartes? Le mien comporte uniquement 55 cartes.

Fred.

jpp · 27-04-2012 06:05:27

salut.

avec 56 figurines . on a [tex]\frac{56\times{55}}{2} = 1540 [/tex]couples possibles.

sur chaque carton on dénombre 28 couples si bien qu'avec[tex]\frac{1540}{28} = 55[/tex]cartes, on a un jeu , je crois.

@fred , je pense que ton jeu ne possède que 56 figurines.

à plus.

jpp · 27-04-2012 12:05:50

re.

avec 49 figurines je n'ai besoin que de:[tex]\frac{49\times{48}}{2\times{28}} = 42[/tex]cartes avec 8 figurines par carte.

de la meme façon : [tex]\begin{cases}\text{nb. de figurines & nb de cartes}\\49&42\\57&57\\64&72\\105&195\\112&222\\113&226\\225&900\\.....&.....\\449&3592\\....&....\end{cases}[/tex]

à plus.

Dernière modification par jpp (27-04-2012 12:06:48)

Fred · 27-04-2012 13:01:14

@jpp:

La règle 5. impose qu'il y a au moins 57 figures : tu prends une figure qui est sur 8 cartes distinctes.
Sur chaque carte, tu as 7 autres figures, toutes distinctes.
Tu obtiens donc 8*7+1=57 figures au minimum.

Fred.

totomm · 29-04-2012 19:06:35

Bonjour,

fred post #1 a écrit :

Quel algorithme peut on imaginer pour fabriquer les cartes de ce jeu???

un algorithme est mis en forum Programmation
il "fabrique" 57 cartes avec 57 figures si le nombre de figures par cartes est 8

Il peut paraître un peu obscur, sa clé est la permutation circulaire en fin d'algorithme
qui fonctionne dans des carrés 7x7 un peu comme pour les sudoku....

Je l'avais sous le coude depuis un moment, j'aurais pu le publier bien plus tôt
Cordialement

jpp · 30-04-2012 16:39:58

salut.

ce n'est pas un algorithme ni un programme , mais une méthode géomètrique.

je crée un tableau de 7 x 7 nombres . au bout de chaque ligne je rajoute 50 et au bout de chaque colonne 51

[tex]\begin{cases}x &=&b\\y&=&c\end{cases} \begin{cases}43&44&45&46&47&48&49&50\\36&37&38&39&40&41&42&50\\29&30&31&32&33&34&35&50\\22&23&24&25&26&27&28&50\\15&16&17&18&19&20&21&50\\8&9&10&11&12&13&14&50\\1&2&3&4&5&6&7&50\\51&51&51&51&51&51&51\end{cases} \begin{cases}43&44&45&46&47&48&49&50\\36&37&38&39&40&41&42&50\\29&30&31&32&33&34&35&50\\22&23&24&25&26&27&28&50\\15&16&17&18&19&20&21&50\\8&9&10&11&12&13&14&50\\1&2&3&4&5&6&7&50\\51&51&51&51&51&51&51\end{cases}[/tex]

je considère 8 familles de droites dont voici les équations [tex]\begin{cases}x&=&b\\y&=&c\\y&=&x+b\\y&=&2x+b\\y&=&3x+b\\y&=&4x+b\\y&=&5x+b\\y&=&6x+b\end{cases}[/tex]

les 2 premières familles de droites sont dans mon premier tableau x = b pour mes 7 premières colonnes de 8 cartes et la secondey = c pour les 7 premières lignes de 8 cartes.

maintenant je considère les nombres de 1 à 49 comme étant des points à coordonnées entières. les 2 familles de 7 droites horizontales et de 7 doites verticales correspondent aux 14 premiers motifs ou figurines ou couleurs .
je vais les appeler couleurs.
ça ressemble à un quadrillage . si je regarde ce quadrillage il y a un point de fuite pour les horizontales :50 et un point de fuite pour les verticales : 51.

de la meme façon , pour mes 6 autres familles de 7 droites parallèles,j'aurai un point de fuite . ces six points seront les 6 cartes
52 , 53 , 54 , 55 , 56 & 57

mon second tableau va me donner les familles de points ( cartes ) placés sur les droites d'équation y = x + b

[tex]y = x + b \begin{cases}1&9&17&25&33&41&49&52\\2&10&18&26&34&42&43&52\\3&11&19&27&35&36&44&52\\4&12&20&28&29&37&45&52\\5&13&21&22&30&38&46&52\\6&14&15&23&31&39&47&52\\7&8&16&24&32&40&48&52\end{cases}[/tex]

mon troisième tableau va me donner les familles de points ( cartes) placés sur les droites d'équation y = 2x + b

[tex]y = 2x + b\begin{cases}1&16&31&46&12&27&42&53\\2&17&32&47&13&28&36&53\\3&18&33&48&14&22&37&53\\4&19&34&49&8&23&38&53\\5&20&35&43&9&24&39&53\\6&21&29&44&10&25&40&53\\7&15&30&45&11&26&41&53\end{cases}[/tex]

mon quatrième tableau:

[tex]y = 3x + b \begin{cases}1&23&45&18&40&13&35&54\\2&24&46&19&41&14&29&54\\3&25&47&20&42&8&30&54\\4&26&48&21&36&9&31&54\\5&27&49&15&37&10&32&54\\6&28&43&16&38&11&33&54\\7&22&44&17&39&12&34&54\end{cases}[/tex]

mon cinquième tableau:

[tex]y = 4x + b \begin{cases}1&30&10&39&19&48&28&55\\2&31&11&40&20&49&22&55\\3&32&12&41&21&43&23&55\\4&33&13&42&15&44&24&55\\5&34&14&36&16&45&25&55\\6&35&8&37&17&46&26&55\\7&29&9&38&18&47&27&55\end{cases}[/tex]

mon sixième tableau:

[tex]y = 5x + b \begin{cases}1&37&24&11&47&34&21&56\\2&38&25&12&48&35&15&56\\3&39&26&13&49&29&16&56\\4&40&27&14&43&30&17&56\\5&41&28&8&44&31&18&56\\6&42&22&9&45&32&19&56\\7&36&23&10&46&33&20&56\end{cases}[/tex]

mon septième tableau :

[tex]y = 6x + b \begin{cases}1&44&38&32&26&20&14&57\\2&45&39&33&27&21&8&57\\3&46&40&34&28&15&9&57\\4&47&41&35&22&16&10&57\\5&48&42&29&23&17&11&57\\6&49&36&30&24&18&12&57\\7&43&37&31&25&19&13&57\end{cases}[/tex]

je suis arrivé à 56 lignes ( chaque ligne est affectée d'une couleur . et mes 8 points de fuite qui sont en fait les huit cartes

[tex]\begin{cases}50&51&52&53&54&55&56&57\end{cases}[/tex] se trouvent sur la droite des points de fuite à l'infini .et cette 57^ème ligne , je l'affecte de la 57 ^ème couleur.

si je prend un nombre au hazard , je dois logiquement , si je n'ai pas fait d'erreur , le trouver 2 fois dans le premier tableau puisqu'il est , et sur une ligne et sur une colonne , et une fois dans chacun des 6 autres tableaux. ce qui fait 8 fois .

maintenant si je donne une couleur à chacune des 57 lignes . je saurais automatiquement imprimer les huit couleurs sur chacune des 57 cartes.

exemple la carte 26 sera affectée des couleurs5 - 11 - 16 - 28 - 32 - 41 - 45 & 50

à plus.

Dernière modification par jpp (06-09-2012 18:13:59)

totomm · 30-04-2012 17:10:14

Bonjour,

Remplacez figure par "point" et carte par "droite"
alors les règles données correspondent aux axiomes de la "géométrie d'incidence"
et le jeu de 57 cartes est une réalisation d'un "plan projectif fini d'ordre 7"...qui existe

Cordialement

Fred · 30-04-2012 20:42:42

Salut,

C'est très brillant tout cela!
Cela me fait même plaisir qu'on soit revenu à la géométrie. J'avais le jeu de Dobble depuis un petit moment chez moi,
j'en ai discuté avec un collègue qui m'a dit : "Bien sûr qu'on peut faire un jeu de 57 cartes avec 57 figures,
c'est juste une réalisation du plan projectif fini d'ordre 7".
Jpp vient juste de démontrer que ce plan existe forcément, dans un langage très simple.

La conclusion, tout de même, c'est que les concepteurs du jeu ont sans doute tatonné pour fabriquer le plus possible de cartes,
mais ils en ont oublié deux. Avec un peu de mathématiques, on aurait pu construire un jeu complet.

Fred.

totomm · 03-05-2012 08:34:42

Bonjour,

Fred a écrit :

Jpp vient juste de démontrer que ce plan existe forcément, dans un langage très simple.
Fred.

La belle présentation de jpp se transpose immédiatement aussi bien pour 7 ou pour 9 figures par carte
Le résultat obtenu démontrerait-il l'existence de plans projectifs finis d'ordre 6 ou 8 ?

Cordialement

MANU · 06-09-2012 14:30:43

Bonjours, j'ai réussi à tout déchiffrer, malheureusement il me manque la méthode d'affectation des couleur pour une carte. Je ne comprends pas l'exemple.

Si quelqu'un peut me renseigner...

Merci

jpp · 06-09-2012 18:10:13

salut.

@manu , tu veux sans doute faire allusion à l'exemple de la carte 26. en fait je viens de voir , et je vais le corriger , que le second nombre n'est pas 4 , mais en fait 11 et ça devient : la carte 26 est affectée des couleurs :

5 - 11 -16 - 28 - 32 - 41 - 45 - & 50

tu as vu que le premier tableau pouvait etre dupliqué , le premier , pour repérer les cartes dans les 7 colonnes , et le second pour les repérer dans les 7 lignes .

ainsi , 26 se trouve dans la 5^ème colonne ---> on lui affecte donc la couleur 5 --> voir 1^ertableau

26 se trouve etre dans la 4^ème ligne --> on lui affecte donc la couleur 7+4=11 --> le premier tableau qui , lui sera dupliqué.

26 se trouve aussi sur la 2^èmeligne du troisième tableau --> on lui affecte la couleur 14+2=16

26 se trouve aussi sur la 7^èmeligne du quatrième tableau --> on lui affecte la couleur 21+7=28

26 se trouve aussi sur la 4^èmeligne du cinquième tableau --> on lui affecte la couleur 28+4=32

26 se trouve aussi sur la 6^èmeligne du sixième tableau --> on lui affecte la couleur 35+6=41

26 se trouve aussi sur la 3^èmeligne du septième tableau --> on lui affecte la couleur 42+3=45

26 se trouve aussi sur la 1^èreligne du huitième tableau --> on lui affecte la couleur 49+1=50

il y a donc d'abord 7 colonnes qui sont affectées d'une couleur , puis ensuite 7 x 7 = 49 lignes et finalement la dernière ligne est celle des points de fuite à l'infini c'est à dire la ligne 57 avec les cartes 50,51,52,53,54,55,56&57

autre exemple plus simple: la carte 51 aura les couleurs des 7 colonnes du premier tableau et de la toute dernière ligne ci dessus . donc les couleurs n° 1-2-3-4-5-6-7 & 57

et 50 ---> les couleurs 8,9,10,11,12,13,14 & 57

je pense avoir été plus clair .
à plus

Dernière modification par jpp (07-09-2012 06:06:57)

MANU · 08-09-2012 08:41:23

Merci beaucoup.

macLoscope · 19-01-2013 21:56:23

waw! bravo à vous tous! j'avoue que je me suis posé la question sans même avoir saisi toute la complexité du jeu (par exemple, je n'avais pas compris qu'une figure ne pouvait être que sur 8 cartes maximum)
avec mon niveau de terminale S, je suppose que je ne peux pas comprendre grand-chose aux explications, mais ca l'air passionnant! je vais tout demême essayer de relire vos explications^^ merci en tout cas!

gobi · 18-06-2013 14:28:51

Je viens d'acquérir un jeu qui s'inspire du principe du Dobble, avec un nombre limité de cartes et de figures :

- 21 cartes.
- 21 figures différentes.
- 5 figures par carte.
- chaque figure apparait 5 fois dans le jeu.

J'ai essayé de reproduire ce jeu en tâtonnant un moment, mais je n'ai pas encore réussi. Vos explications ont l'air très pertinentes, mais elles restent un peu difficiles d'accès pour moi. Si quelqu'un se sent capable de simplifier (encore) un peu tout ça, j'attends vos réponses !

totomm · 20-07-2013 19:44:27

Bonsoir,

Profitant d'une adresse IP amie et bienveillante pour répndre à gobi :

La méthode jpp du post #11 ne fonctionne que si le (nombre de figures -1) est un nombre premier.
ici pour 5 figures par cartes, une méthode (simple !) est de cocher les cartes qui conviennent parmi les 20349 cartes possibles avec 21 figures... Exemple :
Carte N°1 1 2 3 4 5
Carte N°2 1 6 7 8 9
Carte N°3 1 10 11 12 13
Carte N°4 1 14 15 16 17
Carte N°5 1 18 19 20 21
Carte N°6 2 6 10 14 18
Carte N°7 2 7 11 15 19
Carte N°8 2 8 12 16 20
Carte N°9 2 9 13 17 21
Carte N°10 3 6 11 16 21
Carte N°11 3 7 10 17 20
Carte N°12 3 8 13 14 19
Carte N°13 3 9 12 15 18
Carte N°14 4 6 12 17 19
Carte N°15 4 7 13 16 18
Carte N°16 4 8 10 15 21
Carte N°17 4 9 11 14 20
Carte N°18 5 6 13 15 20
Carte N°19 5 7 12 14 21
Carte N°20 5 8 11 17 18
Carte N°21 5 9 10 16 19 sauf erreur....

Jim · 23-10-2013 09:11:48

Merci jpp pour cette méthode qui m'a été très utile.
Elle m'a permis de générer avec un script python un jeu de dobble à partir de fichiers image pour les 57 symboles.

Au cas où ça pourrait être utile, voici le code source:

  def generate(self):

    t0 = [[(i+1)+(j*7)              for i in range(7)] for j in range(7)]

    t1 = [[t0[(i)   % 7][(j+i) % 7] for i in range(7)] for j in range(7)]

    t2 = [[t0[(2*i) % 7][(j+i) % 7] for i in range(7)] for j in range(7)]

    t3 = [[t0[(3*i) % 7][(j+i) % 7] for i in range(7)] for j in range(7)]

    t4 = [[t0[(4*i) % 7][(j+i) % 7] for i in range(7)] for j in range(7)]

    t5 = [[t0[(5*i) % 7][(j+i) % 7] for i in range(7)] for j in range(7)]

    t6 = [[t0[(6*i) % 7][(j+i) % 7] for i in range(7)] for j in range(7)]

    t7 = [[t0[i][j]                 for i in range(7)] for j in range(7)]

    for i in range(7):

      t0[i].append(50)

      t7[i].append(51)

      t1[i].append(52)

      t2[i].append(53)

      t3[i].append(54)

      t4[i].append(55)

      t5[i].append(56)

      t6[i].append(57)

    t8 = [[(i+50) for i in range(8)]]

    t = t0+t1+t2+t3+t4+t5+t6+t7+t8

    return t

la variable t retournée est un tableau à deux dimensions avec un ligne par carte et 8 entrées par ligne pour les 8 symboles de la carte.

Voici aussi le code qui m'a permis de vérifier l'unicité des liens entre les symboles de ces cartes:

  def check(self,cards):

    for i in range(57):

      chklst = [n for n in range(57)]

      chklst.remove(i)

      for j in chklst:

        if [(k in cards[j] and k != 0) for k in cards[i]].count(True) != 1:

          print [(k in cards[j] and k != 0) for k in cards[i]].count(True)

          print cards[i] 

          print cards[j]

On donne le tableau t ci-dessus comme paramètre cards à cette fonction et si il y a une erreur, le script affiche le nombre de relations entre les deux cartes, suivi du contenu de ces deux cartes

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#1 01-01-2012 21:48:06

Les mathématiques du Dobble

#2 02-01-2012 12:31:39

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#3 02-01-2012 14:56:36

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#4 02-01-2012 21:59:57

Re : Les mathématiques du Dobble

#5 25-04-2012 13:00:10

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#6 25-04-2012 21:03:58

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#7 27-04-2012 06:05:27

Re : Les mathématiques du Dobble

#8 27-04-2012 12:05:50

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#9 27-04-2012 13:01:14

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#10 29-04-2012 19:06:35

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#11 30-04-2012 16:39:58

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#12 30-04-2012 17:10:14

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#13 30-04-2012 20:42:42

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#14 03-05-2012 08:34:42

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#15 06-09-2012 14:30:43

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#16 06-09-2012 18:10:13

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#17 08-09-2012 08:41:23

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#18 19-01-2013 21:56:23

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#21 23-10-2013 09:11:48

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