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Thgues

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Sous-variété

Bonjour,

Je considère l'ensemble [tex]X=\{(x,y,f(x,y))\in R^3, (x,y)\in R^2\}[/tex] avec f une fonction [tex]C^{\infty}[/tex] de [tex]R^2[/tex] dans [tex]R[/tex].
On peut prendre par exemple [tex]f(x,y)=xy^2[/tex].

Je cherche à démontrer que [tex]X[/tex] est une 2-sous-variété de [tex]R^3[/tex].

Pour ce faire, je souhaite montrer que pour tout [tex]u\in X[/tex], il existe un voisinage [tex]U[/tex] de [tex]x[/tex] dans [tex]X[/tex] et un voisinage [tex]V[/tex] de [tex]0[/tex] dans [tex]R^2[/tex] et une application [tex]\phi : V\to U\cap X[/tex] bijective de classe [tex]C^{\infty}[/tex] tels que [tex]d\phi_0[/tex] soit bijective.

J'ai donc posé [tex]\phi : (x,y)\to (x,y,xy^2)[/tex] et j'ai calculé [tex]Jac_{\phi}(0,0)[/tex] et je trouve que c'est une matrice [tex]2\times 3[/tex], avec sur la première ligne 1, 0, 0 et sur la deuxième ligne, 0,1, 0.
Bref, tout ça est très flou pour mieux.
D'ailleurs, comment déterminer [tex]d\phi_0[/tex] ? C'est bien la différentielle de [tex]\phi en (0,0)[/tex] ?

Merci d'avance pour votre aide !

Fred

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Re : Sous-variété

Bonjour,

  Tu te trompes dans la définition d'une sous-variété. On ne demande pas que $d\phi_0$ soit bijective (ce qui est bien sûr faux ici, puisque $d\phi$ est une application linéaire de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R^3$). Dans la définition d'une sous-variété par paramétrage, on demande que $d\phi_0$ soit injective. Ici, cela ne pose pas de problèmes!
Sauf que, en faisant ce que tu fais, tu n'as pas vérifié la définition pour tout point $u$ de $X$, mais seulement pour le point $(0,0,0)$.

F.

PS : la définition des sous-variétés.

Thgues

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Re : Sous-variété

Bonjour Fred,

Effectivement, beaucoup d'incohérences dans me premier message, désolé.

Je reprends.
Je veux donc montrer que pour tout [tex]u\in X[/tex], il existe un voisinage [tex]V_0[/tex] de [tex]0[/tex] dans [tex]R^2[/tex], un voisinage [tex]U_u[/tex] de [tex]u[/tex] dans [tex]R^3[/tex] et une application [tex]\phi : V_0\to U_u\cap X[/tex] bijective de classe [tex] C^{\infty}[/tex] telle que [tex]d_{\phi_0}[/tex] soit injective.

Je pose [tex]\phi : R^2\to R^3, (x,y)\to (x,y,xy^2)[/tex].
La fonction [tex]\phi[/tex] est [tex]C^{\infty}[/tex] sur [tex]R^2[/tex], elle est donc différentiable sur [tex]R^2[/tex], et la matrice jacobienne (la matrice [tex]D[/tex] de l'application linéaire [tex]d_{\phi}\in L(R^2,R^3)[/tex])

[tex]D=Jac_{\phi}(x,y)=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\\ y^2&2xy \end{pmatrix}[/tex]

Je peux également écrire que pour tout [tex](x,y)\in R^2[/tex], [tex](h,k)\in R^2, d_{\phi}(x,y).(h,k)=\begin{pmatrix}
1 \\[3mm]
0 \\[3mm]
y^2 \\
\end{pmatrix}.h+\begin{pmatrix}
0 \\[3mm]
1 \\[3mm]
2xy \\
\end{pmatrix}.k[/tex]

ll est alors clair que [tex]d_{\phi}(0,0)[/tex] est injective.
Il reste alors à vérifier que, pour tout [tex](x,y)\in R^2[/tex] avec [tex](x,y)\neq (0,0)[/tex], [tex]d_{\phi}(x,y)[/tex] est injective.

Est-ce que mon raisonnement est correct Fred jusque là ?

Merci encore pour ton aide précieuse : )

Dernière modification par Thgues (25-01-2022 19:39:35)

Fred

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Re : Sous-variété

Oui, et c'est évident que $d\phi(x,y)$ est injective....

Thgues

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Re : Sous-variété

Tout à fait. Merci Fred.
Concernant les voisinages [tex]V_0[/tex] et [tex]U_u[/tex] que j'ai définis plus haut, il suffit de prendre pour [tex]V_0[/tex] une boule ouverte centrée en [tex]0[/tex] et pour [tex]U_x[/tex] une boule ouverte centrée en [tex]u[/tex].

Egalement, j'ai pensé à ceci : [tex]X[/tex] est le graphe de la fonction [tex]f[/tex], et on peut montrer que l'application [tex]\phi[/tex] que j'ai défini plus haut est un [tex]C^{\infty}[/tex]-difféomorphisme, dont l'inverse, la projection [tex](x,y,f(x,y))\to (x,y)[/tex], est également [tex]C^{\infty}[/tex].

Dernière modification par Thgues (25-01-2022 19:38:57)

Fred

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Re : Sous-variété

$\phi$ n'est pas un difféomorphisme (pour des questions de dimension)....

Thgues

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Re : Sous-variété

Je vois.

Mais par exemple, dans mon cours, on avait montré que [tex]f : [0,1]\to \{(t,e^{i2\pi\times t}),t\in [0,1]\}[/tex] est un difféomorphisme.

N'y a-t-il pas non plus là un problème de dimension ?

Je ne suis plus sûr de comprendre.

Merci !

Dernière modification par Thgues (26-01-2022 08:04:54)

Fred

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Re : Sous-variété

Cela dépend en réalité si tu considère $\phi:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ ou $\phi:\mathbb R^2\to X$.

Thgues

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Re : Sous-variété

D'accord.
Par exemple, dans mon exemple précédent, je peux considérer [tex]f : X\to R^2[/tex] avec [tex]X\subset R^2[/tex] ?

Dernière modification par Thgues (26-01-2022 09:14:38)

Thgues

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Re : Sous-variété

Bonjour,

Je me permets de revenir sur la résolution de l'exercice suivant.
Montrer que [tex]X=\{(x,y,xy^2)\in R^3, (x,y)\in R^2\}[/tex] est une 2-sous-variété [tex]C^{\infty}[/tex] de [tex]R^3[/tex].

Pour cela, je souhaitais utiliser une définition par paramétrage définition par paramétrage.
Ainsi, je dois montrer qu'il existe un voisinage [tex]V_0[/tex] de [tex]0[/tex] dans [tex]R^2[/tex], un voisinage [tex]V_u[/tex] de [tex]u[/tex] dans [tex]R^3[/tex] et une application [tex]\phi : V_0 \to V_u\cap X[/tex] bijective de classe [tex]C^{\infty}[/tex] telle que [tex]D\phi_0[/tex] est injective.

Je pose donc [tex]\phi : (x,y)\in R^2 \to (x,y,xy^2)\in R^3[/tex].

Alors [tex]\phi[/tex] est clairement [tex]C^{\infty}[/tex], et on montre que [tex]\phi[/tex] est bijective sur tout voisinage [tex]V_0[/tex] de 0 dans [tex]R^2[/tex].

La matrice jacobienne (la matrice [tex]D[/tex] de l'application linéaire [tex]D\phi_{(x,y)}\in L(R^2,R^3)[/tex])

[tex]D=Jac D\phi_{(x,y)}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\\ y^2&2xy \end{pmatrix}[/tex]

Je peux également écrire que pour tout [tex](x,y)\in R^2[/tex], [tex](h,k)\in R^2, D\phi_{(x,y)}.(h,k)=\begin{pmatrix}
1 \\[3mm]
0 \\[3mm]
y^2 \\
\end{pmatrix}.h+\begin{pmatrix}
0 \\[3mm]
1 \\[3mm]
2xy \\
\end{pmatrix}.k[/tex]

ll est alors clair que [tex]D\phi_{(0,0)}[/tex] est injective.

Mais du coup Fred, et désolé de revenir aussi tard sur cet exercice, je ne comprends pas pourquoi dans tout ce raisonnement, je n'ai finalement considéré que le point [tex](0,0,0)[/tex] de [tex]X[/tex] ?

Merci d'avance !