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Buu

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Matrice semblable

Bonjour,
J’aimerais bien avoir un peu d’aide pour un exercice sans avoir la réponse.
Voici l’énoncé:
Soit K un sous corps de L
Montrer que si A,B deux matrices de Mn(K) sont semblables dans Mn(L) alors elles sont semblables dans Mn(K).
Je pense qu’il suffit de montrer que les matrices de passages appartiennent a Mn(K) mais je n’ai aucune idée de comment commencer.
Merci d’avance

bridgslam

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Re : Matrice semblable

Bonjour,

Les matrices A et B sont semblables dans $M_n(L)$ veut dire qu'il existe un endomorphisme f de $L^n$ et deux bases $(e)_A$ et $(e)_B$ de cet espace , telles que A et B sont les matrices de f  resp. dans ces bases.

Comme les coefficients de A et de B sont en fait dans K, que peux-tu en déduire?

Il restera à montrer que les bases considérées relativement au corps L, sont aussi des bases relativement au corps K, ce qui est quasi-évident, mais qu'il faut tout de même remarquer ( même cardinal n, dimension à la fois de $L^n$ et de $K^n$, et ensuite un famille libre relativement au corps L est aussi une famille libre relativement au sous-corps K - l'inverse serait évidemment faux : une famille libre sur un corps peut-être liée sur un sur-corps).

A.

Dernière modification par bridgslam (24-01-2022 18:51:39)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Fred

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Re : Matrice semblable

Bonjour,

  Je ne suis pas sûr que le raisonnement de Bridgslam fonctionne. A priori, $(e)_A$ est une base de $L^n$, elle n'a aucune raison même d'être un élément de $K^n$......

Je pense qu'en fait le problème est assez subtil :
* si on ne met aucune hypothèse sur $K$, je ne vois pas d'autres méthodes que de passer par la théorie des invariants de similitude.
* si $K$ est infini, on peut s'en sortir par des arguments (pas simples) basés sur le fait qu'un polynôme homogène en plusieurs variables qui est non nul (c'est-à-dire dont les coefficients ne sont pas tous nuls) admet une valeur non nulle sur $K$. Je peux détailler bien sûr si c'est la bonne hypothèse sur $K$.
* si $K=\mathbb R$ et $L=\mathbb C$, il y a une variante du raisonnement précédent plus simple. On considère $P\in GL_n(\mathbb C)$ telle que $PAP^{-1}=B$, c'est-à-dire $PA=BP$. On écrit $P=P_1+iP_2$ et on a $P_i A=BP_i$, $i=1,2$. On peut conclure si on trouve $\lambda\in\mathbb R$ tel que $P_1+\lambda P_2$ est inversible, ce que l'on prouve en considérant $\det(P_1+\lambda P_2)$.

F.

bridgslam

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Re : Matrice semblable

Bonjour,

Par isomorphisme on peut considérer ( pour éviter de se heurter à la difficulté fort justement soulevée par Fred) un même ensemble abstrait de vecteurs de dimension finie n , muni de deux structures: l'une sur le corps K et l'autre sur le corps L.
Comme K est sous-corps de L, on obtient une structure vectorielle par rapport à K, induite par rapport à celle de L.
A posteriori c'est possible car une base vue par rapport à L en est aussi une par rapport à K.

Ou dit autrement pour inverser la vapeur: soit $V_L$ une espace vectoriel de dimension n sur L (par exemple concrétisé par $L^n$ ) .
Toute sous-structure vectorielle $V_K$ de dimension n de V ( donc de même ensemble sous-jacent) induite sur le sous-corps K vérifie que toute base de $V_L$ en est une pour $V_K$ car une partie libre à  n éléments de $V_L$ a toujours n éléments et est libre dans $V_K$ qui, par hypothèse, est  de dimension n ( comme $K^n$), donc c'est une base de $V_K$. Une telle structure existe, engendrée ( sur K)  par combinaisons linéaires (à coeff dans K) d'une base de $V_L$ .

On se détache alors des questions ensemblistes liées aux constituants des uplets et on se complique moins la vie.

La question est équivalente à la question posée  par isomorphisme car il y a une seule structure vectorielle  de dimension finie donnée sur un corps donné (ici K ou L).

A.

Dernière modification par bridgslam (25-01-2022 10:28:45)

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Buu

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Re : Matrice semblable

Bonjour, merci pour vos réponses mais j’ai oublié de préciser que juste avant cette question on avait fait une étude sur les invariants de similitude ( décomposition des Froebenius, décomposition de Jordan)
Je pense donc que la réponse à cette question comme l’a dit Fred doit utiliser cette théorie ( car on a aucune hypothèse sur K)

Fred

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Re : Matrice semblable

Re-

  Avec les invariants de similitude, c'est assez facile.
1. $A$ et $B$, vues comme matrices à coefficients dans $L$, ont les mêmes invariants de similitude puisque les deux matrices sont semblables.
2. Les invariants de similitude de $A$, vue comme matrice de $K$, et de $A$, vue comme matrice de $L$, sont identiques, par unicité de la décomposition de Frobenius. De même pour $B$.
3. Donc $A$ et $B$, vues comme matrices à coefficients dans $K$, ont les mêmes invariants de similitude. Elles sont donc semblables.

F.

bridgslam

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Re : Matrice semblable

Bonjour,

Avec la seule hypothèse sur K que c'est un sous-corps de L (sans autre hypothèse) , par isomorphisme et unicité des structures ça marche aussi. Il n'y a pas de souci pour comprendre qu'au sens des ev, K^n est un sous-espace de L^n par plongement isomorphique canonique, même si K est un sous-corps strict de L, évidemment.
Le mieux est aussi d'indiquer toutes les indications et le contexte de travail lorsque vous posez un sujet, cela permet de se situer d'emblée dans les mêmes démarches de cours et d'utiliser les outils proposés.

A.

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