Mesure extérieure et continuité d'une fonction bornée

Thgues · 22-01-2022 11:06:48

Bonjour,

Pour toute fonction réelle bornée définie sur [tex][0,1][/tex] et toute partie [tex]A[/tex] de [tex][0,1][/tex] on définit l'oscillation de [tex]f[/tex] sur [tex]A[/tex] et on note [tex]w(f,A)[/tex] la différence [tex]\sup_A f-inf_A f[/tex].
L'oscillation de [tex]f[/tex] en un point [tex]x[/tex] du segment [tex][0,1][/tex] notée [tex]w(f,x)[/tex] est la borne inférieure des [tex]w(f,V)[/tex] quand [tex]V[/tex] décrit l'ensemble des voisinages de [tex]x[/tex] dans [tex][0,1][/tex].
Je considère [tex]A_k=\{x\in [0,1],w(f,x)\ge \frac{1}{k}\}[/tex] et [tex]A=\cup_{k=1}^{\infty}A_k[/tex].

J'ai montré que [tex]A[/tex] était exactement égal à l'ensemble des points de discontinuité de [tex]f[/tex].
Egalement, j'ai démontré que pour [tex]\epsilon[/tex] strictement positif, [tex]Osc_{\epsilon}(f):=\{c\in [0,1], w(f,c)\ge \epsilon\}[/tex] était une partie compacte de [tex][0,1][/tex].

Sous l'hypothèse que [tex]\mu(A)\neq 0[/tex], comment montrer que [tex]\mu^*(A)\neq 0[/tex], avec [tex]\mu^*[/tex] la mesure extérieure associée à la mesure de Lebesgue.

Pour rappel, en considérant [tex](\Omega,F,\mu)[/tex] avec [tex]F[/tex] une algèbre de parties sur [tex]\Omega[/tex] et [tex]\mu[/tex] une mesure positive sur [tex](\Omega,F)[/tex], alors [tex]\forall P\subset \cup_{i=1}^{\infty} B_i, \mu^*(P)=\inf\{\sum_{i=i}^{\infty}\mu(B_i), P\subset \cup_{i=1}^{\infty} B_i\}[/tex].

Ceci implique que :

1) [tex]\forall P\subset \cup_{i=1}^{\infty} B_i, \mu^*(P)\le \sum_{i=i}^{\infty}\mu(B_i)[/tex]
2) [tex]\forall \epsilon[/tex] strictement positif, il existe un recourvement dénombrable [tex]P\subset \cup_{i=1}^{\infty} B_i[/tex] tel que [tex]\mu^*(P)\ge \sum_{i=i}^{\infty}\mu(B_i)-\epsilon[/tex]

Pourriez-vous me guider pour montrer que [tex]\mu^*(A)\neq 0[/tex] ?

Merci d'avance.

Dernière modification par Thgues (23-01-2022 09:40:56)

Thgues · 23-01-2022 09:40:22

Bonjour,

En considérant l'espace mesuré [tex]([0,1],B(R),\mu)[/tex]...
Déjà, puisque [tex]A=\cup_{i=1}^{\infty} A_i[/tex], j'ai donc que [tex]\mu^*(A)=\inf\{\sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)\}[/tex] avec [tex]A_i\in B(R)[/tex].

Ensuite, puisque que [tex]\mu(A)\neq 0[/tex] par hypothèse, alors il existe un [tex]i\ge 1[/tex] tel que [tex]\mu(A_i)\neq 0[/tex].

Enfin, puisque [tex]A=\cup_{i=1}^{\infty} A_i[/tex], alors [tex]\mu^*(A)=\mu^*(\cup_{i=1}^{\infty} A_i)\le \sum_{i=1}^{\infty}\mu^*(A_i)[/tex] par définition de la mesure extérieure.

Egalement, par définition de l'inf, on peut écrire que [tex]\mu^*(A)\le \sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)[/tex].

Voilà pourtant où j'en suis.
Mon but était de simplement écrire tout ce que l'on pouvait obtenir par définition de la mesure extérieure associée à la mesure de Lebesgue, pour ensuite essayer de dégager une inégalité permettant de conclure que [tex]\mu^*(A)\neq 0[/tex].

Thgues · 23-01-2022 10:25:43

Je continue ma réflexion...
Toujours avec les notations : [tex]A=\cup_{k=1}^{\infty}A_k[/tex] et [tex]A_k=\{x\in [0,1],w(f,x)\ge \frac{1}{k}\}[/tex]...

Pour la mesure extérieure associée à la mesure de Lebesgue, cette dernière est définie par :

[tex]\mu^*(A)=\inf\{\sum_{i=1}^{\infty}(b_i-a_i), A\subset \cup_{i=1}^{\infty}[a_i,b_i]\}[/tex]

Donc pour bien faire, il faudrait trouver un intervalle [tex][a_i,b_i][/tex] aussi petit que l'on veut et qui contiendrait les [tex]A[/tex], autrement dit qui contiendrait exactement l'ensemble des points de discontinuité de [tex]f[/tex].

bridgslam · 26-01-2022 11:55:54

Bonjour,

A est un borélien comme réunion dénombrable de fermés, donc de boréliens et a donc une mesure.
Tu supposes si je comprends bien $\mu(A)$ non nulle.

$\forall P\subset \cup_{i=1}^{\infty} B_i, \mu^*(P)=\inf\{\sum_{i=i}^{\infty}\mu(B_i), P\subset \cup_{i=1}^{\infty} B_i\}$

Si tu poses P=A, comme l'ensemble des réels dans inf{} est minorée par $\mu(A)$ donc forcément la borne inférieure vaut au moins $\mu(A)$
qui est non nulle...

A.

Thgues · 26-01-2022 12:16:24

Mais c'est bien sûr, merci bridgslam !

Thgues · 26-01-2022 15:42:08

Par contre bridgslam, je ne comprends pas l'utilité de la mesure extérieure, à quoi elle sert concrètement...
Le but de la question est en fait de montrer que si [tex]\mu(D)\neq 0[/tex], alors [tex]f[/tex] n'est pas intégrable au sens de Riemann.

Le fait que [tex]\mu^*(D)\neq 0[/tex] implique qu'il existe un [tex]w>0[/tex] tel que pour un certain [tex]k_0[/tex], [tex]\mu^*(A_{k_0})>w[/tex].

Bon, maintenant, si je prends [tex]P=(a_0,...,a_n)[/tex] une partition de [tex][0,1][/tex], je peux considérer l'ensemble des intervalle [tex]]a_i,a_{i-1}[[/tex] tel que [tex]]a_i,a_{i-1}[\cap A_k \neq \emptyset[/tex] et essayer de montrer que la différence des sommes de Darboux de [tex]f[/tex] est plus grande qu'un truc.

Par contre, je ne vois pas ce que viens faire la mesure extérieure là-dedans...

Merci pour vos indications.

Dernière modification par Thgues (26-01-2022 15:42:33)

bridgslam · 27-01-2022 10:26:59

Bonjour,

En se donnant un $\epsilon$ > 0 et un n entier donné non nul, si f est intégrable (au sens de Riemann) , il existerait une subdivision finie de l'intervalle telle que la différence des sommes de Darboux supérieure et inférieure ne dépasse pas $\epsilon/n$.
Ensuite tu peux t'intéresser à la partie des points x pour laquelle l'oscillation en x est au moins 1/n (= ensemble $A_{n}$ ).
Pour les points x éventuels aux bornes des intervalles de la subdivision, étant en nombre fini, ça n' ajoutera rien à la mesure, on peut donc prendre en compte que les points à l'intérieur des intervalles.
Sa mesure extérieure est donc déjà plus grande que celle de $A_{n}$ puisque elle est supérieure à la mesure de la réunion de tous ces ensembles. En particulier ( en considérant la subdivision finie en cas particulier qui est un recouvrement parmi d'autres ) , on aura donc
a fortiori que $\sum_k \mu( I_k).(1/n)$ est non nul ( les indices k étant relatifs aux intervalles de la subdivision qui intersectent $A_n$

En simplifiant par 1/n on trouve que $\epsilon$ , quel qu'il soit, est supérieur à un nombre non nul, contradiction.
f n'est donc pas intégrable.

La réciproque est vraie aussi et donne le théorème qu'une fonction bornée sur un segment est Riemann-intégrable <=> l'ensemble de ses points de discontinuité est de mesure nulle.

Le résultat des courses c'est que pour une fonction bornée sur un intervalle compact, les sauts en un point ne sont pas rédhibitoires pour l'intégrabilité de Riemann, à condition que leur ensemble soit négligeable, ou dit autrement que la continuité soit vraie presque partout ( ce qu'on retrouve en cas très particulier avec l'approche par les fonctions en escalier, où on précise parfois que les images d'un nombre fini de points peuvent être changées en ce qu'on veut, sans changer ni l'intégrabilité, ni la valeur de l'intégrale, ce serait vrai aussi a posteriori d'après ce théorème en changeant les valeurs sur une quantité dénombrable - par exemple- de points, mais on s'éloigne définitivement de la définition d'une fonction en escalier sur un segment... par définition constante par morceaux jointifs en nombre fini...
On touche du doigt la limitation de l'intégrale de Riemann.

A.

Dernière modification par bridgslam (27-01-2022 13:07:32)

Thgues · 27-01-2022 12:04:00

Bonjour et merci bridgslam,

Je comprends les idées et les étapes de la preuve, mais je ne parviens pas à formaliser.

bridgslam a écrit :

Bonjour,
En se donnant un $\epsilon$ > 0 et un n entier donné non nul, si f est intégrable (au sens de Riemann) , il existerait une subdivision finie de l'intervalle telle que la différence des sommes de Darboux supérieure et inférieure ne dépasse pas $\epsilon/n$.

Pas de problème.

bridgslam a écrit :

Ensuite tu peux t'intéresser à la partie des points x pour laquelle l'oscillation en x est 1/n (= ensemble A_n)
Pour les points x éventuels aux bornes des intervalles de la subdivision, étant en nombre fini, ça n' ajoutera rien à la mesure, on peut donc prendre en compte que les points à l'intérieur des intervalles.

Ok.

J'ai du mal pour le reste.

Je comprends déjà que [tex]\exists \omega >0, \exists k_0\ge 1, \mu^*(A_{k_0})>\omega[/tex].

Donc on considère également les ensembles [tex]I_k[/tex] qui sont les intersections non vides de [tex]]x_{k-1},x_k[[/tex] avec [tex]A_n=\{x\in [0,1], w(f,x)\ge \frac{1}{n}\} [/tex] et où [tex](x_0=0,...,x_p=1)[/tex] est une subdivision de [tex][0,1][/tex].

On s'interesse également à la mesure extérieure [tex]\mu^*[/tex] de [tex]A=\cup_{k=1}^{\infty} A_k[/tex].

On a que [tex]\mu^*(A)=\mu^*(\cup_{k=1}^{\infty} A_k)\le \sum_{k=1}^{\infty} \mu^*(A_k)[/tex], mais pourquoi cela implique-t-il que [tex]\mu^*(A)\ge \mu^*(A_n)[/tex] ?

Enfin, en considérant [tex]P=I_k=]x_{k-1},x_k[\cap A_k[/tex] dans la définition de la mesure extérieure, on obtient que :

[tex]\mu^*(I_k)=\inf\{\sum_{k=1}^n \mu(I_k)\}[/tex]

Dernière modification par Thgues (27-01-2022 12:30:08)

bridgslam · 27-01-2022 13:06:03

Bonjour,

Non, le $A_k$ est fixé une fois pour toutes à $A_n$, c'est la seule à laquelle on s'intéresse, la subdivison liée aux sommes de Darboux est consiste en intervalles et sert juste à le recouvrir (jouent le rôle des $A_k$ dans tes notations) , et elle est en quantité finie (donc a fortiori dénombrable), c'est un recouvrement particulier dont la somme des mesures ( expression facile avec... des intervalles) est donc à l'intérieur du inf{} dans tes notations. Tu appliques ensuite les inégalités.

A.

Thgues · 28-01-2022 16:07:05

Merci bridgslam, j'ai compris.

bridgslam · 28-01-2022 17:40:16

Bonsoir,

De rien.
Sinon des cours disponibles sur la toile( et sa magie de trampoline ) nous donnent accès à tout ce qu'on veut sur l'intégration.
L'intégrale de Kurzweil-Henstock offre même encore des capacités plus fortes que celle de Lebesgue quand l'espace de départ est numérique ( avec un système de jauge, à la souplesse maximum, puisqu'on adapte la subdivision en fonction de l'intensité variable des oscillations de la fonction à intégrer ) sa cohérence d'approche est assurée par le lemme de Cousin, mais hélas je ne crois pas qu'elle se généralise (sauf erreur) à des espaces plus abstraits comme celle de Lebesgue le fait (d'où son emploi direct en probabilités sur des univers divers et variés).
Les références intéressantes sont nombreuses.

A.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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Mesure extérieure et continuité d'une fonction bornée

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