Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 21-01-2022 09:51:04

agnes11
Membre
Inscription : 21-01-2022
Messages : 6

suite

Bonjour,
j'ai un souci avec cet exercice
on définit une suite (An) de telle sorte que (An) soit l'unique solution sur [0;1] de x^n -nx +1= 0 pour tout n>=2
on a montré que (An) est décroissante, comme elle est minorée par 0, elle converge. Il faut maintenant montrer qu'elle converge vers 0 et là je n'ai pas trouvé. Si quelqu'un peut m'aider?
Merci
A bientôt
agnes11

Hors ligne

#2 21-01-2022 11:02:21

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : suite

Bonjour,

Que peux-tu dire si la limite n'est pas nulle ?

Roro.

Hors ligne

#3 21-01-2022 12:01:12

agnes11
Membre
Inscription : 21-01-2022
Messages : 6

Re : suite

Bonjour,
il y a une contradiction mais je ne vois pas laquelle,
Agnes11

Hors ligne

#4 21-01-2022 14:59:19

arthur_magron
Membre
Inscription : 21-01-2022
Messages : 3

Re : suite

Bonjour,

on appelle l la limite de (An), si tu supposes l>0, alors tu sais que f(An)= (An)^n -n*An+1=0
et en passant à la limite , c’est a dire dire l^n -nl +1 = 0, tu vas réussir à trouver une absurdité.

Arthur

Hors ligne

#5 21-01-2022 15:28:11

agnes11
Membre
Inscription : 21-01-2022
Messages : 6

Re : suite

Bonjour,
j'ai bien pensé à cette égalité mais je ne vois pas la contradiction
Agnes11

Hors ligne

#6 21-01-2022 15:47:53

arthur_magron
Membre
Inscription : 21-01-2022
Messages : 3

Re : suite

il faut faire tendre n vers +00 et normalement tu trouveras tout de suite la contradiction car l est compris entre 0 et 1.

Hors ligne

#7 21-01-2022 16:01:17

agnes11
Membre
Inscription : 21-01-2022
Messages : 6

Re : suite

on trouve - infini alors que cela doit faire 0?

Hors ligne

#8 21-01-2022 19:58:19

arthur_magron
Membre
Inscription : 21-01-2022
Messages : 3

Re : suite

Oui c’est ça, tu trouves -00 +1 = 0, ce qui est absurde. Donc finalement l=0

Hors ligne

#9 21-01-2022 20:33:23

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : suite

Bonsoir,

Je vais pinailler un peu mais ce n'est pas si simple que ce qui est dit ci-dessus.

On a bien pour tout $n\geq 2$ l'égalité $a_n^n - na_n + 1 = 0$ puisque c'est la définition de la suite $(a_n)$.

Si on suppose que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} = \ell \neq 0$ alors on ne peut pas dire "en passant à la limite on a  $\ell^n - n \ell + 1 = 0$" puisqu'il reste des $n$ !!!

Il faut dans un premier temps montrer que $a_n^n$ tend vers $0$. Pour cela, l'argument $0\leq a_n\leq 1$ n'est pas suffisant (j'ai remarqué que $a_n\leq 1$ puisqu'il est facile de voir que $a_2=1$ et que tu as démontré que la suite était décroissante minorée par $0$).

Un argument suffisant serait, par exemple, de montrer que la suite est strictement décroissante, de sorte que $0\leq a_n\leq a_3 <1$, et donc $0\leq a_n^n\leq a_3^n \to 0$.

Roro.

Dernière modification par Roro (21-01-2022 21:29:42)

Hors ligne

#10 21-01-2022 20:57:19

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 075

Re : suite

Bonsoir,
ça me semblait aussi un peu plus compliqué que ce qu'avait fait arthur car bien que la limite de la suite soit $0$, les égalités $0^n-n*0+1=0^n+1=0$ ne sont vérifiées pour aucun $n$

Dernière modification par Zebulor (23-01-2022 12:20:32)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#11 23-01-2022 21:57:48

agnes11
Membre
Inscription : 21-01-2022
Messages : 6

Re : suite

Merci:)

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
dix-huit moins un
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums