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#1 21-01-2022 09:51:04
- agnes11
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suite
Bonjour,
j'ai un souci avec cet exercice
on définit une suite (An) de telle sorte que (An) soit l'unique solution sur [0;1] de x^n -nx +1= 0 pour tout n>=2
on a montré que (An) est décroissante, comme elle est minorée par 0, elle converge. Il faut maintenant montrer qu'elle converge vers 0 et là je n'ai pas trouvé. Si quelqu'un peut m'aider?
Merci
A bientôt
agnes11
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#4 21-01-2022 14:59:19
- arthur_magron
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Re : suite
Bonjour,
on appelle l la limite de (An), si tu supposes l>0, alors tu sais que f(An)= (An)^n -n*An+1=0
et en passant à la limite , c’est a dire dire l^n -nl +1 = 0, tu vas réussir à trouver une absurdité.
Arthur
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#6 21-01-2022 15:47:53
- arthur_magron
- Membre
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Re : suite
il faut faire tendre n vers +00 et normalement tu trouveras tout de suite la contradiction car l est compris entre 0 et 1.
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#8 21-01-2022 19:58:19
- arthur_magron
- Membre
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Re : suite
Oui c’est ça, tu trouves -00 +1 = 0, ce qui est absurde. Donc finalement l=0
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#9 21-01-2022 20:33:23
- Roro
- Membre expert
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- Messages : 1 552
Re : suite
Bonsoir,
Je vais pinailler un peu mais ce n'est pas si simple que ce qui est dit ci-dessus.
On a bien pour tout $n\geq 2$ l'égalité $a_n^n - na_n + 1 = 0$ puisque c'est la définition de la suite $(a_n)$.
Si on suppose que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} = \ell \neq 0$ alors on ne peut pas dire "en passant à la limite on a $\ell^n - n \ell + 1 = 0$" puisqu'il reste des $n$ !!!
Il faut dans un premier temps montrer que $a_n^n$ tend vers $0$. Pour cela, l'argument $0\leq a_n\leq 1$ n'est pas suffisant (j'ai remarqué que $a_n\leq 1$ puisqu'il est facile de voir que $a_2=1$ et que tu as démontré que la suite était décroissante minorée par $0$).
Un argument suffisant serait, par exemple, de montrer que la suite est strictement décroissante, de sorte que $0\leq a_n\leq a_3 <1$, et donc $0\leq a_n^n\leq a_3^n \to 0$.
Roro.
Dernière modification par Roro (21-01-2022 21:29:42)
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#10 21-01-2022 20:57:19
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 075
Re : suite
Bonsoir,
ça me semblait aussi un peu plus compliqué que ce qu'avait fait arthur car bien que la limite de la suite soit $0$, les égalités $0^n-n*0+1=0^n+1=0$ ne sont vérifiées pour aucun $n$
Dernière modification par Zebulor (23-01-2022 12:20:32)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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