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#1 27-11-2021 14:32:46
- MikeB
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- Inscription : 20-11-2021
- Messages : 13
Changement de variables dans une intégrale
Bonjour à tous,
Faut-il préciser que la fonction utilisée est bijective lors d'un changement de variable ?
Voir un exemple ci-dessous :
Théorème : Soit $\Phi:[a,b]\rightarrow I$ une application de classe $C^1$ et $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ une application continue sur $I$.
Alors $\displaystyle \int_a^b f\circ\Phi(t)\times\Phi'(t)\mathrm{d}t=\int_{\Phi(a)}^{\Phi(b)}f(t)\mathrm{d}t$
Application : Calcul de $\displaystyle \int_{0}^{\tfrac{25\pi}{4}}\sin t\cos t\mathrm{d}t$
En utilisant $\Phi(t)=\sin t$ qui est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ alors $\Phi'(t)=\cos t$ et $f(t)=t$ on obtient :
$\displaystyle \int_{0}^{{\small \tfrac{25\pi}{4}}}\sin t\cos t\mathrm{d}t=\int_{\sin 0}^{{\small \sin \tfrac{25\pi}{4}}}t\mathrm{d}t=\int_{0}^{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}t\mathrm{d}t=\left[\dfrac{t^2}{2}\right]_0^{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{1}{4}$
Dernière modification par yoshi (27-11-2021 16:02:44)
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#2 27-11-2021 15:37:12
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 072
Re : Changement de variables dans une intégrale
Bonjour MikeB,
Si j'ai bien compris ta question, dans le théorème que tu cites $\Phi$ est de classe $C^1$ sur l'intervalle d'intégration, donc pas nécessairement bijective sur ce même intervalle.
"bijectif" n'est pas équivalent à "de classe $C^1$
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#4 27-11-2021 19:09:25
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 072
Re : Changement de variables dans une intégrale
re,
sur l'exemple d'application que tu donnes le changement de variable est non injectif sur l'intervalle d'intégration, donc non bijectif et le résultat est effectivement 1/4.
D'une manière générale je pense que la bijectivité du changement de variable n'est qu'une condition suffisante.
On doit pouvoir trouver d'autres exemples avec des fonctions trigonométriques notamment...
PS : Si dans toj exemple d'application tu déplaces les bornes d'intégrations de multiples de $2\pi$ tu retrouves encore le même résultat, ce qui peut être troublant..
Dernière modification par Zebulor (27-11-2021 19:21:23)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#5 27-11-2021 19:22:09
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Changement de variables dans une intégrale
Bonjour,
Comme tu pourras le lire sur cette page, le changement de variables, s'il est écrit comme tu l'as fait, ne nécessite pas que $\phi$ soit bijective
(en fait, cette formule, c'est plus ou moins la formule de la dérivée d'une fonction composée, qu'on applique à $F=f\circ\phi$).
F.
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