Suite de suites d'ensembles partitionnante

Yunvln · 25-11-2021 19:46:13

Bonjour,

Nous avons un exercice a effectuer en groupe, malheureusement nous bloquons sur une question en particulière ce qui nous empêche d'avance et nous bloque énormément, en espérant que quelqu'un pourras nous aider.

Merci d'avance.

Sujet : Une suite de suites d’ensembles est une structure du type [tex]((L_{i_{j}})_{j∈Ji})_{i∈I}[/tex] ou les [tex] L_{i_{j}} [/tex] sont des ensembles. Par exemple, comme suite de suites d’ensembles, on a la structure suivante :
[tex](({1}, {1}),({}),({3, {1, 5}}, {3, a, 7}, {8, 0, {}}))[/tex]
Une suite de suites d’ensembles est partitionnante pour [tex]X[/tex] si [tex] {L_{i_{j}}: i∈I, j∈J_{i}}[/tex] est une partition de
l’ensemble [tex]X[/tex]. Par exemple, comme suite de suites d’ensembles partitionnante pour l’ensemble [tex] {1, 2, 3, 4, 5, 6}[/tex],
on a : [tex](({1}, {5}),({2}),({4}, {6, 3}))[/tex]
Soient[tex] (X_{1}, L_{1}) [/tex]et[tex] (X_{2}, L_{2})[/tex] deux couples tels que, pour tout [tex]k[/tex] dans [tex][2][/tex], [tex]L_{k} = ((L_{k,i_{j}})j∈J_{k,i} )_{i∈I_{k}}[/tex] soit une suite de suites d’ensembles partitionnante pour [tex]X_{k}[/tex]. Une bijection φ de l’ensemble[tex] X_{1}[/tex] dans l’ensemble [tex]X_{2}[/tex] est dite
[tex](L_{1}, L_{2})[/tex]-compatible si[tex] ∀_{i} ∈ I_{1}, ∀_{j} ∈ J_{1,i} [/tex]la restriction de φ a [tex]L_{1,i_{j}}[/tex] est une bijection de [tex]L_{1,i_{j}} [/tex]dans [tex]L_{2,i_{j}}.[/tex]

1. Quelles conditions faut-il vérifier entre deux couples [tex] (X_{1}, L_{1}) [/tex]et[tex] (X_{2}, L_{2})[/tex] pour qu’il puisse exister des
bijections [tex](L_{1}, L_{2})[/tex]-compatibles de[tex] X_{1} [/tex]dans[tex] X_{2} [/tex]? Puis Exprimez, par exemple en fonction des [tex]L_{1,i_{j}}[/tex], le nombre de bijections compatibles de[tex] X_{1}[/tex] dans[tex] X_{2} [/tex].

Dernière modification par Yunvln (26-11-2021 12:26:41)

bridgslam · 26-11-2021 15:54:08

Bonjour,

Si on résume à une condition:

$\exists$ b bijection $I_1 \rightarrow I_2$ telle que $\forall i \in I_1$, $\exists c_i$ bijection $J_{1,i} \rightarrow J_{2,b(i)}$ telle que $\forall i \in I_1$, $\forall j \in J_{1,i}$ $L_{1,i_j}$ est équipotent à $L_{2,b(i)_{c_i(j)}}$ par une bijection $u_{i,j}$

On peut alors recoller toutes les bijections $u_{i,j}$ pour obtenir celle entre $X_1$ et $X_2$.

Je n'ai pas trouver plus simple pour réduire la condition logique ensembliste.

Quelques exemples
$X_1$ = { 1,2,3,4,5,6,7,8} $X_2$ = {a,b,c,d,e,f,g,h}

une suite de suites d'ensembles partitionnante pour $X_1$ : ( ({1,2} , {3} ) , ( {4} ), ( {5,6}, {7,8} ) ) où

$I_1$ = { 1,2,3} ce sont les indice de la suite de plus haut niveau.
$J_{1, 1}$ = {1,2} , $J_{1,2}$ = {1} , $J_{1,3}$ = {1,2} ce sont les indices des suites intérieures

$(L_{1,1_j})$ = ({1,2} , {3} ) pour j variant dans $J_{1,1}$
$(L_{1,2_j})$ = ( {4} ) pour j variant dans $J_{1,2}$
$(L_{1,3_j})$ = ( {5,6},{7,8} ) pour j variant dans $J_{1,3}$

Pour $X_2$ une suite de suites d'ensembles partitionnante qui est compatible avec celle de $X_1$:

( ({e}), ( {h}, {b,g} ) , ({a,c}, {d,f} ) ) .
On prend $I_1 = I_2$ pour ne pas compliquer les notations...
On pourra s'amuser à expliciter toutes les bijections ad hoc: b , les $c_i$ , et enfin les $u_{i,j}$ puis les recoller ensemble...

b : 1 -> 2 , 2 -> 1 , 3->3 pas dur.

Dans 1->2 une (sous -) permutation (transposition) permet d'avoir une équipotence pour chaque ensemble de la sous-suite.
Pour 2->1 et 3->3 rien à changer et ça marche.
Globalement tout colle donc à chacun des 3 niveaux de permutation , elle est donc recollable pour obtenir ce qu'on souhaite.

Pour résumer, sur nôtre exemple basé sur des ensembles d'indices finis, donc plus simple:

On a put réordonner convenablement la suite la plus haute, afin qu'en réordonnant convenablement ensuite chaque sous-suite,
chaque terme de chaque sous-suite soit en bijection avec celui de l'autre suite partionnante.
C'est finalement plus difficile à écrire logiquement qu'avec des mots.
Mêmes idées si on avait une suite de suites de suites de suites de... d'ensembles... on rechercherait une permutation sur les plus hauts indices telle que pour toute suite à son nouveau rang soit permutable telle que toute sous-suite ... etc.
Au plus bas niveau, on doit parvenir à un ensemble de bijections entre ensembles.

Alain

bridgslam · 26-11-2021 16:23:10

Bonjour,

Par-contre vos exemples sous forme de parenthèses ressemblent plutôt à une suite de suites, et pas du tout à une suite de suite d'ensembles, contrairement à votre préambule.
Au niveau le plus bas on doit forcément lister des ensembles, qui font défaut...
Etant donnée la dernière question, il est fort possible qu'il ne s'agisse pas du tout de suite de suites d'ensembles dont il est question.
Les "exemples" ont été fournis par le prof ? De vôtre cru ?
Le chapitre concerne les permutations ? les suites ?
Bref pouvez-vous en dire un peu plus et vérifier la véracité de vos notations ??

Alain

Yunvln · 29-11-2021 00:58:25

Bonjour,
Merci énormément de votre réponse cela nous aide beaucoup !
Pour ce qui est de vos question, oui les exemple nous on été fournit pas le prof, sur un sujet qu'il avait donnée les années plus tôt et le chapitre concerne principalement les ensembles, les ordinaux et les ordres.

bridgslam · 29-11-2021 09:46:51

Bonjour,

Dans ce cas les notations sont acceptables, en considérant que tous les objets désignés sont des ensembles (ZF(C)) de l'univers , non écrits en extension ( par exemple 3= {0,1,2} , a = { autre choses... } etc ).
Ce que j'ai écrit ne change pas: il faut emboîter 3 niveaux de bijections compatibles pour avoir la CNS finale.

Cordialement,

Alain

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#1 25-11-2021 19:46:13

Suite de suites d'ensembles partitionnante

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Re : Suite de suites d'ensembles partitionnante

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Re : Suite de suites d'ensembles partitionnante

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