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Hysed

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Toute suite convergent dans Z est stationnaire

Bonjour,
Sur le site, au niveau des exercices proposés, il y a un exercice de suites dont je n'arrive pas à vraiment comprendre la démarche entreprise pour le résoudre.
L'énoncé est le suivant :

Soit $(u_n)$ une suite à valeurs dans $\mathbb{Z}$ , convergente. Montrer, en utilisant la définition, que $(u_n) $ est stationnaire.

Et la réponse consiste en l'usage d'un $\epsilon$ de valeur $1/4$ et de l'inégalité triangulaire d'une manière très semblable à celle utilisée pour démontrer que toute suite convergent dans $\mathbb{R}$ est suite de Cauchy.

Mais je me demandais si la démarche que j'ai entrepris personnellement pour résoudre cet exercice peut être considérée comme correcte, puisqu'elle n'utilise pas les mêmes éléments de raisonnement que celle du corrigé.

Voici ma façon de procéder qui est super simple :
Prenons $\epsilon = 1/3$  (ou n'importe quel autre chiffre inférieur à $1$ et supérieur à $0$)
Utilisons ce $\epsilon$ dans la définition de convergence, ce qui nous donne qu'à partir d'un certain seuil $n_\epsilon$, toutes les valeurs de $u_n$ sont à distance inférieure à $1/3$ du point $l$ vers lequel la suite tend. [$n\geq n_\epsilon \Rightarrow |u_n-l|<\epsilon=1/3$]
Or, deux entiers qui ont un écart inférieur à $1$ sont égaux (je sais pas si on doit justifier ça avec une définition ou quoi, mais je pense que la simple compréhension ""intuitive"" des entiers permet de le faire).
Et donc, $u_n=l$ à partir du seuil $n_\epsilon$, et comme la définition d'une suite stationnaire est qu'elle est égale à une certaine valeur à partir d'un certain seuil, nous avons la suite $u_n$ qui est égale $l$ à partir du seuil $n_\epsilon$. Et donc que la suite est par conséquent stationnaire.

Voilà, je sais pas si ce que j'ai écrit est erroné, correct ou n'a aucun sens, et je compte sur vous pour m'éclairer
Merci d'avance

Fred

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Re : Toute suite convergent dans Z est stationnaire

Bonjour,

  Ce que tu fais serait correct si tu savais que la limite $l$ est un entier. Ce que l'on ne sait pas a priori....

F.

bridgslam

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Re : Toute suite convergent dans Z est stationnaire

Bonjour,
Ta suite est une suite de Cauchy,  à partir d’un certain rang, la différence de deux termes en valeur absolue  de la suite est <1, donc ils sont tous  égaux à partir de ce rang, le seul entier positif <1 étant 0.

Alain

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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Paco del Rey

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Re : Toute suite convergent dans Z est stationnaire

Bonjour.

Un plan possible :

1/ Tu démontres la proposition dans le cas où la limite est nulle. Un peu comme tu l'as fait.
2/ Tu te ramènes au cas précédent (méthode du jaguar casqué) en considérant la suite $u_{n+1} - u_n$.

Paco.

bridgslam

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Re : Toute suite convergent dans Z est stationnaire

Bonjour,

Si vraiment tu ne connais pas les suites de Cauchy ( à mon sens le plus simple ici) , tu peux toujours utiliser l'inégalité triangulaire sur la différence de deux termes de la suite en faisant intervenir la limite L.
C'est Cauchy en toile de fond, en preuve directe si inconnu au bataillon...

Alain

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Hysed

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Re : Toute suite convergent dans Z est stationnaire

Effectivement, vous avez raison Fred, j'avais supposé la limite entière mais ce n'est pas spécifié.

bridgslam, je vois que la solution de l'exercice ramène à un cas très semblable à la preuve que toute suite convergente est de Cauchy et je vois à peu près comment ramener au cas des suites de Cauchy, merci.

Paco del Rey, je vois pas ce que c'est que la méthode du jaguar masqué, désolé, vous pouvez m'éclairer là-dessus si possible ?

Paco del Rey

Invité

Re : Toute suite convergent dans Z est stationnaire

Hysed, Casqué, le jaguar, pas masqué. Il ne faut pas voir des masques partout...

Comme indiqué plus haut, la méthode du jaguar casqué consiste à se ramener au cas précédent.

Paco.

bridgslam

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Re : Toute suite convergent dans Z est stationnaire

Bonjour,

C'est particulièrement simple en utilisant la propriété de Cauchy des suites convergentes (vraie d'ailleurs dans tout espace métrique), car on montre par la propriété des entiers déjà évoquée que le diamètre d'une section finissante de la suite est nul, donc qu'elle se réduit tout bonnement à un singleton, ce qu'on veut...
Section finissante, terme pompeux pour désigner l'ensemble des images à partir d'un certain rang.
Le bout si on veut...
Diamètre  : le sup de tous les écarts.

Alain

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bridgslam

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Re : Toute suite convergent dans Z est stationnaire

Bonsoir,

Enfin une ultime méthode, la "rustique".
La suite, convergente est bornée et à valeurs entières,
Donc les valeurs prises sont parmi les entiers
N, N+1, ...., N+K.
Une suite convergente ayant une unique valeur d'adhérence, un seul de ces entiers, disons M, est donc image de la suite une infinité de fois.
Pour les K autres, donc une quantité finie, ils sont image de la suite pour un ensemble fini d'indices: ainsi au delà d'un indice assez grand, l'image est M.
C'est bien ce qu'on voulait.

On remarque que le contexte est un cas particulier d'une proposition plus étendue, celle qui touche à l'essentiel:

▼généralisation

Soit [tex](u_n)[/tex] une suite d'éléments d'un espace topologique  séparé E vérifiant:

- l'ensemble des images est fini
- [tex](u_n) \; converge \;dans \;  E[/tex]

Alors la suite [tex](u_n)[/tex] est stationnaire en sa limite.

La démarche est strictement similaire à la preuve ci-dessus:

- il existe une seule valeur d'adhérence a, c'est une valeur prise une infinité de fois par la suite ( car il n'y a pas de points d'accumulation, l'ensemble des images étant fini)
-  [tex]\forall \;b \in u(\mathbb{N})\backslash \{a\} \;( ensemble \;fini ) \exists \; N_b \;entier :\forall n \; entier \ge N_b \; u_n \ne b[/tex]
puisque b est une valeur prise une finitude de fois.
Alors à partir du max de ces entiers [tex]N_b[/tex], la suite est égale à a.

Le contexte de l'exercice ne fait que draper ces propriétés en se plaçant d'emblée dans [tex]\mathbb{Z}[/tex]
La rusticité a le mérite ici, selon moi, de  pointer  la pierre d'achoppement du phénomène.

Alain

Dernière modification par bridgslam (24-10-2021 09:37:05)

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