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#1 17-10-2021 22:19:27

Lucie22
Invité

Equation cyclométrique

Bonjour à tous!
Pouvez-vous m'aider à résoudre cet exercice?

Résous dans ℝ:
[tex]Arcsin(x-1)+arccos\frac{1}{x}=arcsin\frac{x}{x-2}[/tex]

Merci d'avance !

#2 18-10-2021 07:52:05

Paco del Rey
Invité

Re : Equation cyclométrique

Bonjour Lucie.

La première chose est de déterminer l'ensemble de définition des fonctions
$x\longmapsto \arcsin(x-1)$
$x\longmapsto \arccos\frac{1}{x}$
et
$x\longmapsto \arcsin\frac{x}{x-2}$.

Paco

#3 18-10-2021 17:22:02

Lucie22
Invité

Re : Equation cyclométrique

Bonjour, merci pour votre réponse !

J'ai trouvé domf = ] 0 ; 2 [ mais je ne sais pas comment continuer. Pouvez-vous m'aider ?

Merci d'avance !

#4 18-10-2021 18:18:40

Paco del Rey
Invité

Re : Equation cyclométrique

Hein ? Quoi ?

la fonction arcsinus est définie sur $\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2 \right]$.
Donc la première fonction, $x\longmapsto \arcsin(x-1)$ est définie (au maximum) sur  $\left[1-\dfrac\pi2,1+\dfrac\pi2 \right]$.

À toi pour les autres.

Paco.

#5 18-10-2021 19:10:12

Lucie22
Invité

Re : Equation cyclométrique

Ce n'est pas [-1;1] qu'il faut utiliser ?

#6 18-10-2021 19:54:49

Paco del Rey
Invité

Re : Equation cyclométrique

Oui, pardon, tu as parfaitement raison !

Je rectifie : a fonction arcsinus est définie sur $[-1,1]$.

La fonction $x\longmapsto \arcsin(x-1)$ est définie sur $[0,2]$, plutôt.

Pour $x\longmapsto \arccos\frac{1}{x}$, tu as $x\leqslant-1$ ou $x\geqslant 1$.

Reste $x\longmapsto \arcsin\frac{x}{x-2}$.

Paco.

#7 18-10-2021 20:17:06

Lucie22
Invité

Re : Equation cyclométrique

Ok, merci Paco!

Que dois-je faire après ça? Dois-je utiliser la formule sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa ?

Merci pour ton aide :) !

#8 18-10-2021 20:29:08

Paco del Rey
Invité

Re : Equation cyclométrique

Commence par résoudre $-1\leqslant \dfrac{x}{x-2} \leqslant 1$.

Nous verrons la suite ... ensuite.

Paco.

#9 18-10-2021 21:01:06

Lucie22
Invité

Re : Equation cyclométrique

J'ai obtenu [tex]×\leq1[/tex]. Est-ce juste?

#10 18-10-2021 21:03:59

Paco del Rey
Invité

Re : Equation cyclométrique

Oui.

Maintenant, lorsque tu cherches les $x$ qui vérifient à la fois ces trois contraintes, que trouves-tu ?

Paco.

#11 18-10-2021 21:06:14

Lucie22
Invité

Re : Equation cyclométrique

Merci, je trouve que x=1

#12 18-10-2021 21:10:26

Paco del Rey
Invité

Re : Equation cyclométrique

Oui, moi aussi.

Finalement, il ne reste plus qu'à vérifier si $x=1$ est solution ou non.

Et la réponse est ... ?

Paco.

#13 18-10-2021 21:19:26

Lucie22
Invité

Re : Equation cyclométrique

X=1 n'est pas solution car j'obtiens 0 = - pi/2 en remplaçant les x par 1 dans l'équation. C'est bien ça ?

#14 18-10-2021 21:20:20

Lucie22
Invité

Re : Equation cyclométrique

Cette équation n'a donc pas de solutions

#15 18-10-2021 21:32:36

Paco del Rey
Invité

Re : Equation cyclométrique

D'accord.

C'était simplement un problème d'ensembles de définitions.

Mes excuses pour mon erreur plus haut.

Bonne soirée.

Paco.

#16 18-10-2021 21:41:04

Lucie22
Invité

Re : Equation cyclométrique

Super! Merci beaucoup Paco, j'ai compris maintenant comment il fallait faire :)

Pas de problème ;) !

Bonne soirée !

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