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#1 06-10-2021 13:36:01
- Hysed
- Membre
- Inscription : 06-10-2021
- Messages : 14
Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire
Bonjour,
Je voudrais juste savoir comment on appelle le type de preuve utilisé quand on prouve l'inégalité triangulaire en valeur absolue (pas en algèbre linéaire avec les normes, mais [tex]\mathbb{R}[/tex].
Je parle de cette preuve là :
Quand [tex]xy\geq0[/tex] : [tex]|x+y|=|x|+|y|[/tex]
Quand [tex]xy< 0[/tex] : [tex]|x+y| \leq |x| + |y|[/tex]
Je détaille pas car c'est simple, mais je ne sais pas dans quel type de preuve on peut ranger cela, merci de m'aiguiller.
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#2 06-10-2021 14:05:28
- Paco del Rey
- Invité
Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire
Bonjour Hysed.
Je dirais par disjonction de cas.
J'ai juste ?
(Je ne suis pas très doué en didactique institutionnelle.)
Paco.
#3 06-10-2021 14:11:45
- Black Jack
- Membre
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- Messages : 470
Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire
Bonjour,
Pourquoi utilises-tu une inégalité large dans le membre de droite de : Quand xy < 0 : |x+y| <= |x| + |y|
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#4 06-10-2021 17:13:07
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 035
Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire
Bonjour Hysed.
Je dirais par disjonction de cas.
J'ai juste ?
(Je ne suis pas très doué en didactique institutionnelle.)Paco.
Je ne suis pas beaucoup plus doué mais c'est ce que j'aurais dit aussi
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#5 06-10-2021 18:20:50
- alm
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- Messages : 7
Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire
Bonjour,
Moi aussi, je dirais la même chose et j'essaye de le justifier comme suit: On a [tex]\mathbb R^2=A\cup B[/tex] avec [tex]A=\{(x,y)\in\mathbb R^2/xy \geq 0\}[/tex] et [tex]B=\{(x,y)\in\mathbb R^2/xy < 0\}[/tex] , donc une propriété [tex]\mathcal P[/tex] est vraie sur [tex]\mathbb R^2[/tex] si et seulement elle est vraie sur [tex]A[/tex] et sur [tex]B[/tex].
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#6 07-10-2021 08:06:11
- bridgslam
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Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire
Bonjour,
Pour moi, le qualificatif "disjonction des cas" porte sur la démonstration elle-même du résultat, pas le résultat en soi.
Ici, on peut montrer ce résultat sans aucune disjonction des cas (par exemple en développant le carré de x+y).
La majorité des résultats en mathématiques reviendraient sinon à des disjonctions de cas dans leur expression, ce qui n'est pas forcément le cas dans les preuves sous-jacentes.
Notamment quand tu écris: "je parle de cette preuve-là"... je ne vois pas une preuve mais un résultat...
Alain
Dernière modification par bridgslam (07-10-2021 08:09:46)
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#7 07-10-2021 09:28:38
- Hysed
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- Messages : 14
Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire
Bonjour Hysed.
Je dirais par disjonction de cas.
J'ai juste ?
(Je ne suis pas très doué en didactique institutionnelle.)Paco.
Bous avez parfaitement raison, c'est une petite erreur que j'ai fait au moment d'écrire
Donc, c'est une disjonction de cas, merci beaucoup
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#8 07-10-2021 09:29:45
- Hysed
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- Messages : 14
Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire
Bonjour,
Pour moi, le qualificatif "disjonction des cas" porte sur la démonstration elle-même du résultat, pas le résultat en soi.
Ici, on peut montrer ce résultat sans aucune disjonction des cas (par exemple en développant le carré de x+y).La majorité des résultats en mathématiques reviendraient sinon à des disjonctions de cas dans leur expression, ce qui n'est pas forcément le cas dans les preuves sous-jacentes.
Notamment quand tu écris: "je parle de cette preuve-là"... je ne vois pas une preuve mais un résultat...
Alain
Bonjour Alain, alors, je suis désolé, mais je vois pas en quoi on ne peut pas considérer cela comme une preuve.
Pouvez-vous expliquer pourquoi ce serait un résultat à la place ?
Merci beaucoup
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#9 07-10-2021 12:05:49
- bridgslam
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Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire
Bonjour,
Il suffit de vous relire...: vous écrivez un résultat, pas sa démonstration, c'est antinomique.
Logiquement je ne peux rien dire ( disjonction des cas ou pas) sur la preuve qui a conduit au résultat.
La disjonction des cas est une méthode de démonstration, qui n'apparaît pas dans vôtre post.
Alain
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#10 12-10-2021 16:36:03
- Hysed
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- Messages : 14
Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire
Bonjour,
Il suffit de vous relire...: vous écrivez un résultat, pas sa démonstration, c'est antinomique.
Logiquement je ne peux rien dire ( disjonction des cas ou pas) sur la preuve qui a conduit au résultat.
La disjonction des cas est une méthode de démonstration, qui n'apparaît pas dans vôtre post.Alain
Mais justement, je comprends pas pourquoi ce serait un résultat et non une preuve de la propriété qu'est l'inégalité triangulaire sur $\mathbb{R}$.
Je mets pas les détails, mais il s'agit juste de partir de la définition de la valeur absolue, et d'utiliser cette définition pour trouver que quand $x$ et $y$ sont de même signe, on a la première égalité $|x+y|=|x|+|y|$, et que quand $x$ et $y$ sont de signe différent, on a la seconde inégalité, $|x+y| <|x|+|y|$
Et que quand on agrège ces deux résultats ensemble, on a l'inégalité triangulaire.
Sachant, qu'on part d'une définition et qu'on utilise les opérations définies sur la structure algébrique dans laquelle on joue, et on arrive à une propriété non triviale, ça m'a l'air d'être une démonstration possible permettant d'arriver au résultat qu'est l'inégalité triangulaire.
Je ne vois donc pas pourquoi vous dites que ce qui est écrit est le résultat, et non sa démonstration, même si je pense que c'est parce que je n'avais pas bien détaillé au préalable, et je m'en excuse.
Merci d'avance d'éclaircir mon incompréhension.
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#11 13-10-2021 18:37:26
- bridgslam
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Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire
Bonjour,
Si vôtre preuve se scinde en deux parties déductives, c’est bien une disjonction des cas.
Au départ vôtre post est juste un fait, d’où ma remarque.
Et il y a au moins 2 autres moyens sans aucune disjonction des cas d’y arriver.
Alain
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#12 19-10-2021 16:07:22
- Hysed
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Re : Nom du type de preuve de l'inégalité triangulaire
Bonjour,
Si vôtre preuve se scinde en deux parties déductives, c’est bien une disjonction des cas.
Au départ vôtre post est juste un fait, d’où ma remarque.
Et il y a au moins 2 autres moyens sans aucune disjonction des cas d’y arriver.Alain
Aah d'accord, merci du coup
Je suis curieux, je veux bien savoir quels sont les deux autres moyens dont vous parlez, si ceux-ci n'utilisent que la définition de la valeur absolue et non des notions d'algèbre linéaire et d'espaces vectoriels.
Merci d'avance
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