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GrishaC
02-05-2023 08:47:58

Attention : admettre une primitive c'est très contraignant, cela veut dire pour f qu'il existe F tel que F'=f. Donc en effet, comme toute fonction dérivée vérifie la propriété des valeurs intermédiaires, une fonction f qui ne vérifierait pas la propriété des valeurs intermédiaires ne peut pas être la dérivée d'une potentielle primitive. Donc une fonction qui ne vérifie pas le propriété des valeurs intermédiaires n'admet pas de primitive. Ce qui ne l’empêche pas d'être Riemann intégrable.

Maenwe a écrit :

Bonsoir,
Je pense que tu as juste fais une erreur de formulation !ais je précise quand même :
Le théorème de Darboux dit que la dérivée $f'$ vérifie aussi le théorème de valeurs intermédiaire.
Ce que tu as énoncé est vrai mais ce n'est pas le théorème de Darboux.
Ensuite, ce que tu veux montrer n'est malheureusement pas vrai, en effet il suffit de prendre la fonction partie entière sur $[0;2]$, elle ne vérifie pas le théorème des valeurs intermédiaires et pourtant elle est tout à fait Riemann intégrable...
Pourquoi donc me dira t'on, et bien c'est parce que la primitive d'une fonction Riemann-intégrable n'est pas partout dérivable en général (il suffit de prendre l'exemple que je viens de donner), en fait elle est presque partout dérivable (c'est à dire qu'elle est dérivable sur un ensemble dont le complémentaire dans cet intervalle est négligeable pour la mesure de Lebesgue, je ne sais pas si tu as vu ce qu'est la mesure de Lebesgue), quoi qu'il en soit la dérivabilité (partout) d'une primitive n'est énoncé dans tes théorèmes que pour une primitive d'une fonction continue.

Tadjou
22-10-2021 23:36:45
Bonjour,

Comment trouver trouver la valeur intermédiaire et son image afin de les placer dans le repère et travers la courbe ?

Merci
bridgslam
16-09-2021 15:35:24

Bonjour,

Par-contre l'image d'un intervalle par une fonction continue str. monotone est un intervalle de même nature ( bornes infinies possibles au départ et/ou à l'arrivée), ce qui est un fait important à signaler, je pense.

Alain

Hetu
07-07-2021 13:04:39

Bonjour,
Je suis passée sur cette leçon durant la session 2021. Mon développement ne contenait rien d'extravagant, je m'étais inspirée de ce qui a été dit avant ici (merci!).
On m'a évidemment demandé de démontrer le TVI, mais aussi le théorème de la bijection.
Pour aider les futurs candidats, si cette leçon perdure, voici quelques questions du jury dont je me souviens :
- Donner la vitesse de convergence de la méthode de dichotomie (j'en avais parlé lors de mon exposé)
- Application du TVI aux racines de polynômes (lisez la page TVI sur wikipédia, tout y est)
- Ecrire les définitions de plusieurs limites de façon formelle, avec quantificateurs
- Validité du TVI dans une dimension supérieure à 1
Je ne connaissais d'ailleurs pas la réponse à toutes ces questions.

Bon courage aux futurs candidats!

Fred
27-10-2020 11:32:34

Bonjour,

Charlotte a écrit :

doit-on rester sur un niveau collège/lycée ou peux-ton (doit-on ?) aller au-delà ?

Oui, on peut aller au-delà du niveau collège/lycée, et sans doute pour certaines leçons on doit aller au delà.
Ta deuxième partie me semble tout à fait appropriée. Par exemple, même si ce n'est peut-être pas explicitement au programme de Terminale que l'image d'un segment par une application continue est un segment, c'est un résultat très important et le jury ne manquera pas de t'interroger là dessus si ce n'est pas dans ton plan.

FB.

charlottechollat
27-10-2020 09:59:55

Bonjour,

Je suis en train de travailler sur le plan de cette leçon. Pour la deuxième partie, voici mon plan :

II. Applications
1) Solutions d'une équation du type f(x)=k
2) Théorème du point fixe
3) Image d'un intervalle par une application continue
4) Image d'un segment par une application continue

Je me suis aidée du rapport du jury ainsi que de vos différents conseils pour élaborer cette partie. Mais je me pose une question : ne risque-t-on pas d'être hors sujet en parlant du point fixe et de l'image d'un intervalle/segment ? Ces notions ne sont pas au programme en terminale.
C'est d'ailleurs une question que je me pose pour toutes les leçons : doit-on rester sur un niveau collège/lycée ou peux-ton (doit-on ?) aller au-delà ?

Si vous avez des conseils je suis preneuse :)

Charlotte

JCB21
22-01-2020 18:45:08

Bonsoir à tous

Ceux qui cherchent quelques applications du TVI peuvent consulter le Problème 2 de la première épreuve de 2011 dans laquelle ces sujets sont abordés
Cordialement
JC21

Maenwe
21-01-2020 21:50:19

Bonsoir,
Je pense que tu as juste fais une erreur de formulation !ais je précise quand même :
Le théorème de Darboux dit que la dérivée $f'$ vérifie aussi le théorème de valeurs intermédiaire.
Ce que tu as énoncé est vrai mais ce n'est pas le théorème de Darboux.
Ensuite, ce que tu veux montrer n'est malheureusement pas vrai, en effet il suffit de prendre la fonction partie entière sur $[0;2]$, elle ne vérifie pas le théorème des valeurs intermédiaires et pourtant elle est tout à fait Riemann intégrable...
Pourquoi donc me dira t'on, et bien c'est parce que la primitive d'une fonction Riemann-intégrable n'est pas partout dérivable en général (il suffit de prendre l'exemple que je viens de donner), en fait elle est presque partout dérivable (c'est à dire qu'elle est dérivable sur un ensemble dont le complémentaire dans cet intervalle est négligeable pour la mesure de Lebesgue, je ne sais pas si tu as vu ce qu'est la mesure de Lebesgue), quoi qu'il en soit la dérivabilité (partout) d'une primitive n'est énoncé dans tes théorèmes que pour une primitive d'une fonction continue.

CAPES
18-01-2020 12:17:03

Bonjour dans cette leçon je fais une remarque sur le Théorème de Darboux:

    • Toute fonction dérivable sur un intervalle I ouvert de R vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.

Ce théorème peut servir à montrer qu'une fonction n'admet pas de primitive, en montrant qu'il existe un intervalle sur lequel cette fonction ne vérifie pas le théorème des valeurs intermédiaires. Je sais qu'un exemple est donné par la fonction partie entière mais je ne sais pas comment le justifier. Pourriez vous m'aider?

Maenwe
12-01-2020 17:00:54

Bonjour,
J'en rajoute une couche : C'est très important de bien formuler ton problème avant de l'attaquer ! Sinon tu risques de ne jamais pouvoir le résoudre, d'ailleurs souvent la reformulation d'un problème permet de trouver de nouvelles solutions parfois plus simples.

Darquy
12-01-2020 14:43:59

Bonjour,
Merci en effet j'ai mal formuler ce que je voulais dire, c'est bien les conclusions qui sont équivalentes.
Oui c'est bon pour moi merci bcp !

Maenwe
11-01-2020 18:20:25

Bonjour,
Si on pose $P_{1} =$ "Soient I un intervalle, a et b dans I tels que a < b et f une application continue sur l’intervalle I. Soit k, un réel compris entre f(a) et f(b). Alors il existe (au moins) un réel c dans [a, b] tel que f(c) = k. " et $P_{2} =$ "Soit I un intervalle de R et , f :I -> R une application continue alors f(I) est un intervalle. ". Alors, ce que tu veux montrer c'est : $P_{1} \iff P_{2}$.

Or, $[A \iff B] = (\lnot A \lor B) \land (\lnot B \lor A) $, ($\lnot$ c'est le NON logique, $\lor$ (resp. $\land$) le OU (resp. ET) logique), de plus $P_{1}$ et $P_{2}$ étant vrai dans tous les mondes possibles (ces deux affirmations ($P_{1}$ et $P_{2}$) sont vrais), on a forcément que que $P_{1} \iff P_{2}$ sans avoir rien à démontrer en dehors de la véracité de $P_{1}$ et $P_{2}$. (Pour te donner un exemple un peu plus simple on a bien l'équivalence suivante : $[2=2] \iff [3=3]$).

Voilà, c'était pour le pinaillage plus ou moins important.
A mon avis ce que tu voulais démontrer c'est plutôt l'équivalence des conclusions de chacun de ces énoncés autrement dit, je pense que tu voulais montrer ceci :
Soit $f : I \mapsto \mathbb{R}$.
$f(I)$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, si et seulement si, pour tout $a<b \in I$ et pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ il existe $c \in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.

Pour démontrer cela il faut "simplement" utiliser la définition d'un intervalle : $[a;b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b \}$, est-ce que ça t'aide ?

etudiantecapes2020
11-01-2020 16:48:27

Bonjour,
J'ai un plan assez similaire à celui énoncé plus haut dans la discussion.
Je m'attaque désormais aux démonstrations et je bloque un peu.
J'aimerais pouvoir démontrer qu'il y a équivalence entre ces deux énoncés du TVI :

- "Soient I un intervalle, a et b dans I tels que a < b et f une application continue sur l’intervalle I. Soit k, un réel compris entre f(a) et f(b). Alors il existe (au moins) un réel c dans [a, b] tel que f(c) = k. " (démonstration à l'aide de l'algorithme de dichotomie)

-  "Soit I un intervalle de R et , f :I -> R une application continue alors f(I) est un intervalle. "

Pourriez vous me donnez des pistes de départ svp!

maths69129
30-10-2019 20:25:14

Bonjour ,

Merci pour vos conseils . Effectivement ne pas parler de l'algorithme de dichotomie serait dommage . Je l'ai donc réintégré .Quand je parle de l'image d'un intervalle ouvert(resp. fermé )par une application continue ,je veux indiquer que celle-ci n'est pas forcément un ouvert(resp. fermé), et que l'image d'un segment par une application continue est un segment . Je pense qu'il peut être utile de mettre ses résultats au vu des commentaires effectués par le jury dans le rapport de la session 2019 (je cite :"Au-delà du théorème et de ses applications immédiates, il peut être intéressant de s’interroger sur la nature de l’image d’un intervalle par une fonction continue : que peut-on dire selon le type d’intervalle (ouvert, fermé, borné ou non) " .

Je pense avoir terminé ma leçon :
I) Théorème des valeurs intermédiaires ( différents énoncés ,réciproque=fausse, image d'un ouvert (resp.fermé) non nécessairement ouvert(resp. fermé), image d'un segment=segment)

II)Quelques applications du théorème des valeurs intermédiaires:

    (a)Un corollaire important du théorème des valeurs intermédiaires :le théorème de la bijection
    (b)dénombrement et encadrement d'une(des) solution(s) d'une équation du type f(x)=k sur un intervalle---> j'indique que le théorème des valeurs     intermédiaires nous assure l'existence (et l'unicité s'il y a stricte monotonie) d'une(des) solutions d'une équation du type f(x)=k , où f est une application continue .Introduction de l'algorithme de dichotomie en expliquant qu'il va nous permettre de localiser ces solution(s) avec une précision voulue , j'explique l'algorithme et je donne un exemple , j'ai également créé une animation geogebra illustrant le principe .

    (b)Théorème du point fixe---> rappel de la définition du point fixe puis énoncé du théorème et exemple .

    (c) Deuxième formule de la moyenne intégrale --> énoncé , explique l'idée de la preuve , puis exemple .


Je vous remercie pour vos conseils .
Cordialement .

Fred
30-10-2019 12:48:49

Bonjour,

Je pense que c'est une très mauvaise idée de sortir l'algorithme de dichotomie de cette leçon. Au contraire, il est vraiment au coeur de celle-ci. Garde plutôt pour l'entretien les autres algorithmes possibles (balayage, Newton par exemple...). Je ne comprends toujours pas ce que tu veux dire par "image d'un intervalle ouvert par une fonction continue". A part que c'est un intervalle, je ne vois pas ce qu'on peut dire de plus.

  Par ailleurs, je pense que c'est mieux de mettre des exemples tout au long de la leçon plutôt que de terminer par un paragraphe "Exercices".

F.

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