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tibo · 02-11-2008 12:07:08

oui j'ai oublié de préciser que r<1

merci pour la majoration
je ne vous embeterais plus avec ce dm ,j'ai fini toute les autres questions

merci

Barbichu · 01-11-2008 17:20:41

Mmmh,
Pour r<1 ça marche : on peut majorer Un sur Ur par un équivalent de 2(1+r)e^-2n/(1-r)
Mais pour r>=1 ça ne marche plus : la série de tg Un(1) n'a aucune chance de converger (Un(1)=2), donc pas de convergence simple => tu peux abandonner la convergence uniforme ;)
++

tibo · 01-11-2008 10:08:28

re,
décidement ce dm me donne du fils à retordre

autre question (du même dm)

soit [tex]U_n(\xi)=(1-th(n))\frac{1+\xi}{1-\xi th(n)}[/tex]
soit [tex]U_r= \begin{bmatrix} \xi \in \mathbb{C}\ /\ |\xi|\le r \end{bmatrix} [/tex]

montrer que la série [tex]\sum_{_{n\le 1}} |U_n|[/tex] converge uniformément sur Ur.

J'ai tout d'abord cherché la limite de la série, sans succés.
Puis j'ai essayé de majoré la série par une suite convergente vers 0, mais sans succés non plus. D'habitude je m'aide des intégrales mais dans C ça fonctionne pas.
Et enfin il n'y a pas convergence normale...
donc je pense que la seule méthode possible est de majorer mais je n'ai aucune idée par quoi.

tibo · 30-10-2008 20:39:21

merci,

donc en fait j'avais déjà trouvé, mais je cherchais quelque chose de plus simple.
merci encore

Barbichu · 30-10-2008 18:41:01

Re,
Tu as déterminé que [tex]\forall z \in \mathbb{C}\;\;\left(|\tanh(z)| < 1\,\wedge\,|\Im(z)|<\frac{\pi}{2}\right)\;\Leftrightarrow\;|\Im(z)|<\frac{\pi}{4}[/tex], n'est-ce pas ?
Alors tu dis que l'ensemble des solutions sur [tex]\{z\in\mathbb{C}/|\Im(z)|<\frac{\pi}{2}\}[/tex] de l'inéquation [tex]|\tanh(z)| < 1[/tex] est [tex]\{z\in\mathbb{C}/|\Im(z)|<\frac{\pi}{4}\}[/tex]

(NB : attention aux valeurs absolues, je ne sais pas si tu les as mises)
++

tibo · 29-10-2008 20:07:38

donc je dis Im(z)<pi/4 et c'est tout?

merci pour la bijection

Barbichu · 29-10-2008 13:17:37

Re,

tibo a écrit :

on obtient Im(z)<pi/4

Ben c'est ça qui définit l'ensemble de solutions, pourquoi n'arrives-tu pas à conclure ?
(Si tu ne trouves vraiment pas, écris le calcul en entier)

pour la réciproque, je trouve x=argth(y)=[ln(y+1)-ln(y-1)]/2

Attention malheureux le logarithme n'a de sens que pour des réels strictement positifs !
=> arrête toi à [tex]\tanh(z)=u\;\Leftrightarrow\;e^{2z} = \frac{1+u}{1-u}[/tex] et tu pourras conclure sur la surjectivité en regardant le signe de la partie réelle de [tex]\frac{1+u}{1-u}[/tex]
=> pour l'injectivité, il suffit de remplacer u par th(w) (ou alors en invoquant simplement l'unicité de la forme polaire d'un complexe sous les bonnes conditions)

++

tibo · 29-10-2008 12:53:49

oui j'avais déja trouvé cette expression, et on obtient Im(z)<pi/4 et Re(exp(-2z))>0
mais je ne vois pas comment conclure

quand je disais que j'avais démontré l'inverse, j'avais démontré que ce n'était pas bijectif. après relecture, je m suis apperçu de mon erreur
pour la réciproque, je trouve x=argth(y)=[ln(y+1)-ln(y-1)]/2

Fred · 29-10-2008 11:25:49

Voici un tuyau pour la première question :

[tex]|th(z)|<1\Longleftrightarrow \left|{e}^{z}-{e}^{-z}\right|<\left|{e}^{z}{+e}^{-z}\right|\Longleftrightarrow \left|1-{e}^{-2z}\right|<\left|1+{e}^{2z}\right|\Longleftrightarrow \mathcal{R}\left({e}^{-2z}\right)>0[/tex]

car un nombre complexe est plus proche de 1 que de -1 ssi sa partie réelle est positive.
Ca doit te permettre de conclure pour 1.

Pour 2., oui, détermine la réciproque (terme plus judicieux que l'inverse).

Fred.

Barbichu · 29-10-2008 11:22:11

Hello,
pour 1. fait le calcul de [tex]|e^z + e^{-z}|^2 - |e^z - e^{-z}|^2[/tex]
pour 2. que veux-tu dire par "l'inverse" ? une bijection c'est dans les deux sens, mais de là a avoir inversé th.
Moi j'ai simplement résolu l'équation u = th(z) légèrement guidé par les intuitions que m'ont donné la première question.
++

tibo · 29-10-2008 10:47:56

Bonjour,

voici deux questions extraites d'un DM auxquelles je galère:

soit [tex] th(z) = \frac {e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}\ tel\ que\ z \in \mathbb{C}[/tex]
soit [tex]U=\begin{Bmatrix} \xi \in C \ /\ |\xi|<1 \end{Bmatrix}[/tex]
soit [tex]\Delta=\begin{Bmatrix} z \in \mathbb{C}\ /\ |Im(z)|<\frac{\pi}{4} \end{Bmatrix}[/tex]

1. résoudre [tex] \begin |Im(z)|<\frac{\pi}{2} \\ |th(z)|<1 [/tex]
2. montrer que th réalise une bijection de [tex]\Delta[/tex] sur U

pour la 1., j'ai fait des shema, mais qui ne m'apporte rien
et pour la 2., j'ai réussi à prouver l'inverse mais ça me parait bizar

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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