Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Soit $n$ la tour d'exponentielles, on cherche $n=2^a \bmod 10^{10}$. Comme $a$ est énorme, on aura $2^a=0 \bmod 2^{10}$. On cherche $2^a\bmod 5^{10}$. Le groupe des inversibles modulo $5^{10}$ est d'ordre $4\times 5^9$, on peut donc remplacer $a$ par $a= 3^b \bmod 4\times 5^9$. Le groupe des inversibles  modulo $4\times 5^9$ est d'ordre $8\times 5^8$., on peut donc remplacer $b$ par $b=4^c \bmod 8\times 5^8$. Comme $c$ est énorme, on aura $b = 0\bmod 8$. On cherche $4^c\bmod 5^8$. Le groupe des inversibles modulo $5^8$ est d'ordre $4\times 5^7$. On peut donc remplacer $c$ par $c= 5^d \bmod 4\times 5^7$. On a $5^d = 1 \bmod 4$ et $5^d=0\bmod 5^7$ car $d$ est énorme. Donc $c=5^7 \bmod 4\times 5^7$. Donc $b=4^{5^7}=390624  \bmod 8\times 5^8$. Donc $a=3^{390624}=5765981 \bmod 4\times 5^9$. Donc $n=2^{5765981}=6277852\bmod 5^{10}$. Par reste chinois on en déduit $n=8170340352 \bmod 10^{10}$. Les 10 derniers chiffres de $n$ sont 8170340352.