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Donc $S$ ne peux jamais s'écrire sous la forme d'une somme finie?

Donc, il est impossible d'écrire $S$ sous la forme d'une somme finie? S'il vous plaît. En rappelant que $\varphi$ est une fonction test sur $\mathbb{R}$.

Bonjour.
On a $$S=\sum_{k \geq 1} \dfrac{1}{k}(\varphi(1/k)-\varphi(0)$$
En écrivant le développent de Taylor d'ordre 1 de $\varphi$ au point $1/k$ au voisinage de 0, on a
$$
S=\sum_{k \geq 1} \varphi'(\xi_k),
$$
où $\xi_k \in (0,1/k).$ On est d'accord jusque là?
Si $k$ est très grand, alors $\xi_k$ tend vers 0. C'est exact?
Ainsi, à partir d'un certain rang $k_0$ on aura $\varphi'(\xi_k)= \varphi'(0)$. Vous êtes d'accord jusque là?
Donc, si le point $0$ n'appartient pas à $Supp(\varphi')$, aura $\varphi'(0)=0$ et ainsi,
$$
S=\sum_{k=1}^{k_0} \varphi'(\xi_k).
$$
Sinon, si $0$ n'appartient pas à $Supp(\varphi')$, alors dans ce cas on ne peut pas écrire $S$ sous la forme d'une somme finie.
Ce que je dis est correct? S'il vous plaît.
Merci d'avance pour votre aide.
Est-ce que c'est correcte?

Bonjour Fred,
pardon pour les erreurs de frappes. Je viens de tout corriger. Qu'en  dites vous?
Je vous remercie d'avance.

Bonjour,
voici mon problème.

Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}).$

On considère la série entière
$$
\sum_{k \geq 1} \dfrac{1}{k}(\varphi(1/k)-\varphi(0))
$$

Si on écrit le développement de Taylor d'ordre 1 avec reste de Lagrange au point $\dfrac{1}{k}$ au voisinage de 0, on a:
$$
\varphi\left(\dfrac{1}{k}\right)= \varphi(0)+ \dfrac{1}{k} \varphi'(\xi_k),
$$
où $\xi_k \in \left]0,\dfrac{1}{k}\right[.$
Alors on a
$$
\sum_{k \geq 1} \dfrac{1}{k}(\varphi(1/k)-\varphi(0))= \sum_{k \geq 1} \dfrac{1}{k^2} \varphi'(\xi_k).
$$
Ma question est la suivante: Je cherche à voir s'il existe un rang $k_0$ t.q
$$
\forall k > k_0, \varphi'(\xi_k)=0.
$$
Pourquoi? Pour savoir si on peut écrire que puisque $\varphi'$ est une fonction teste, alors
$$
\sum_{k \geq 1} \dfrac{1}{k^2} \varphi(\xi_k) =\sum_{k_1}^{k_0} \dfrac{1}{k^2} \varphi(\xi_k).
$$

Voici deux réponses. Je souhaiterai avoir votre avis sur les deux réponses et si vous le voulez bien, les erreurs et incohérences de chacune des deux réponses.

Réponse 1.

Puisque $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}),$ on a aussi $\varphi' \in \mathcal{D}(\mathbb{R}).$

Donc, $\varphi'$ a un support compact. Soit $Supp(\varphi') \subset [-R,R]$ pour un certain $R > 0.$

Cela signifie:
$$
\varphi'(x)=0, \ \forall |x| > R.
$$

Or, nous savons que $\xi_k \in \left]0,\dfrac{1}{k}\right[.$

Donc, pourque $\varphi'(\xi_k) \neq 0,$ il faut que $\xi_k \in Supp(\varphi) \subset [-R,R].$

Or, nous savons que $\xi_k \in ]0,\dfrac{1}{k}[.$ Donc, pour que $\varphi'(\xi_k) \neq 0,$ il faut:
$$
\xi_k \in ]0,1/k[ \ \mbox{Et} \ \xi_k \in [-R,R].
$$

C'est à dire,
$$\xi_k \in ]0,1:k[ \cap [-R,R]= ]0,\mbox{min}(1/k,R)[.
$$

Quand cette intersection devient-elle vide?

L'intersection $]0,1/k[ \cap [-R,R]$ est non vide si et seulement si $1/k > 0$ (ce qui est toujours vrai). 

Mais attention! Même si $1/k < \dfrac{1}{R},$ l'intersection $]0,1/k[$ n'est pas vide, donc on ne peut pas coçnclure directement.

On sait que, si $\varphi(x)=0$ sur un intervalle ouvert, alors $\varphi(x)=0$ sur ce même intervalle $I.$

On distingues deux cas:

Cas où $0 \notin Supp(\varphi).$ Dans ce cas, il existe $\delta > 0$ tel que
$$
\varphi(x)=0 \ \mbox{pour tout} \ x \in ]-\delta,\delta[.
$$

Donc aussi,
$$
\varphi'(x)= 0 \ \mbox{pour tout} \ x \in ]-\delta,\delta[.
$$

Pour $k > 1/\delta,$ on a $1/k < \delta,$ donc
$$
]0,1/k[ \subset ]0,\delta[ \subset ]-\delta,\delta[.
$$

Puisque $\xi_k \in ]0,1/k[ \subset ]-\delta,\delta[,$ on a
$$
\varphi'(x_k)=0.
$$

Conclusion pour ce cas. Il existe $k_0 =[1/\delta]+1$ tel que pour tout $k \geq k_0:$
$$
\varphi'(\xi_k)=0.
$$

Donc,
$$
\sum_{k \geq 1} \dfrac{1}{k^2} \varphi'(\xi_k)= \sum_{k=1}^{k_0-1} \dfrac{1}{k^2} \varphi'(\xi_k).
$$

Cas où $0 \in Supp(\varphi).$

Si 0 est dans le support de $\varphi,$ alors pour tout $\delta > 0,$ il existe $x \in ]-\delta,\delta[$ tel que $\varphi(x) \neq 0.$

Dans ce cas, on ne peut pas garantir que $\varphi'(x)=0$ sur un intervalle contenant $0.$

Cependant, la série converge quand même car
$$
|\dfrac{1}{k^2} \varphi'(\xi_k)| \leq \dfrac{1}{k^2}||\varphi'||_{\infty},
$$
et $\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2} < \infty.$

Mais la série n'est pas nécessairement une somme finie dans ce cas.

Conclusion. Il est possible de parler de l'existence d'un $k_0$ tel que pour tout $k > k_0$ on a $\varphi(x_k)=0$ ssi $0 in Supp(\varphi).$ Dans ce cas là, on, peut écrire la série sous la forme d'une somme finie.

Dans le cas contraire, si $0 \notin Supp(\varphi),$ alors la série converge mais on ne peut pas l'écrire sous la forme d'une somme finie.

Réponse 2.
Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$. Pour tout $k$ de $\mathbb{N}^{\star}$ on a $\xi_k \in ]0,1/k[$. On cherche une valeur $k_0$ qui vérifie $\forall k \geq k_0$ on a $\xi_k > a$ et $\xi_k < \dfrac{1}{k}.$ Donc, $a < \dfrac{1}{k}$. Donc, $$\forall k \geq k_0, k < \dfrac{1}{a}$$ ce qui est une contradiction avec le fait que $\mathbb{N}$ n'admet pas une borne $Sup.$