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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- mathsforum
- 02-11-2025 07:58:31
Oh oui c'est efficace et direct comme ça, merci
Ce que j'ai fait est plus alambiqué : j'ai commencé comme indiqué dans le premier message, en montrant d'abord que chi avait un seul facteur irréductible P, puis je montre que l'exposant de ce facteur P est 1 : pour montrer cela , au lieu d'utiliser Frobenius, j'ai dit que comme l'endormophisme est cyclique (car simple), son polynôme minimal est égal à son polynôme caractéristique, or le polynôme minimal est P (car kerP(u)=E en vertu de la simplicité), ainsi le polynôme caractéristique est bien irréductible.
- Michel Coste
- 02-11-2025 06:59:29
Bonjour,
Ça serait tout de même bien d'expliquer comment faire. Voici une façon.
Supposons le polynôme caractéristique $\chi_u$ réductible : $\chi_u=PQ$ avec $P$ et $Q$ non constants, et donc de degrés strictement plus petits que la dimension $n$ de l'espace. Soit $x\neq 0$ dans $E$. Par Cayley-Hamilton, $0=\chi_u(u)(x)=P(u)(Q(u)(x))$. Si $Q(u)(x)=0$, alors le plus petit sous-espace stable contenant $x$ est non nul et de dimension $\leq \deg(Q)<n$. Sinon, le plus petit sous-espace stable contenant $Q(u)(x)$ est non nul et de dimension $\leq \deg(P)<n$.
- mathsforum
- 01-11-2025 18:27:36
C'est bon j'ai trouvé merci
- Roro
- 01-11-2025 13:22:29
Oups, en effet. Au temps pour moi !
Roro.
- mathsforum
- 01-11-2025 12:02:14
Euh oui mais ça c'est le sens réciproque, qui ne m'a pas posé de problème : si u n'est pas simple, soit F un sous espace stable non trivial, alors le polynôme caractéristique de u est produit du pol car de l'induit sur F et du pol car de l'induit sur E/F.
C'est l'autre sens qui me pose problème : je pense avoir réussi (selon la manière indiquée dans mon 1er message), mais ma solution utilise Frobenius, ce qui ne me satisfait pas
- Roro
- 01-11-2025 11:55:00
Bonjour,
Ne serait-il pas judicieux de montrer que si $u$ n'est pas simple alors son polynôme caractéristique est réductible ?
Roro.
- mathsforum
- 01-11-2025 10:16:24
Bonjour,
J'essaie de montrer qu'un endomorphisme u est simple (ie u n'a pas de sous-espaces stables non triviaux) ssi son polynôme caractéristique chi est irréductible (on se place sur un corps quelconque, et un ev de df).
J'ai montré la réciproque ; pour le sens direct je bloque :
j'ai montré que si u est simple alors chi n'a qu'un facteur irréductible : en effet, soit P un facteur irréductible divisant strictement chi, alors kerP(u) est u-stable, et non nul (autrement P n'apparaîtrait pas dans le polynôme minimal), et kerP(u) est différent de E (l'espace ambiant) car autrement si on prend Q un autre facteur irréductible de chi, kerQ(u) serait nul et donc Q n'apparaîtrait pas dans le polynômé minimal.
Mais j'arrive pas à montrer que la multiplicité du seul facteur irréductible est forcément 1.
Ah en fait en écrivant ça j'ai peut-être trouvé : si u est simple et si chi est de la forme P^k, alors le polynome minimal est égal à P (car par hypothèse de simplicité kerP(u)=E). Et là on utilise...Frobenius pour conclure que dans une certaine base u s'écrit avec k blocs, qui sont la matrice compagnon de P. Or comme u est simple u est cyclique, donc par unicité dans Frobenius il n'y a qu'un seul bloc, ie chi=P !!
Cependant je suppose qu'il y a une preuve plus directe, sans le bulldozer Frobenius, donc j'appelle à votre aide pour cela
Merci !