Forum de mathématiques - Bibm@th.net

prenons $X \sim \mathcal{N}\left(μ; σ^2\right)$

On peut estimer $μ$ grâce à $\overline{x}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$ et $σ$ grâce à $s_n^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - μ\right)^2$ ou ${s^*}_n^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \overline{x}_n\right)^2$ selon que $μ$ est connue ou non.

On peut ensuite trouver leurs intervalles de confiance car on a $\overline{x}_n \sim \mathcal{N}\left(μ; \frac{σ^2}{n}\right)$ ou $\sqrt{n}\frac{\overline{x}_n - μ}{{s^*}_n} \sim \mathcal{T}_{n-1}$ selon que $σ$ est connue ou non, et $\frac{n}{σ^2}s_n^2 \sim \mathcal{X}_n^2$ et $\frac{n-1}{σ^2}{s^*}_n^2 \sim \mathcal{X}_{n-1}^2$.

Jusque là très bien, on trouve ça dans tous les bouquins.

Maintenant, prenons $X \sim \mathcal{L}$, avec $\mathcal{L}$ une loi quelconque d’espérance $μ$ et de variance $σ^2$. En vertu du TCL, les résultats précédents sont toujours valables sous réserve que $n$, la taille de l’échantillon, soit suffisamment grand. Jusque-là, j’ai toujours bon? C’est évident pour l’espérance, je suis moins sûr pour la variance.

Ok. Maintenant ça veut dire quoi «$n$ suffisamment grand»? Généralement on parle d’au moins une trentaine, mais pourquoi? Ou plutôt à quelle approximation ça correspond? Ça me semble avoir peu de sens de se donner un intervalle de confiance si la précision de ses bornes n’est pas connue. Existe-t-il une méthode pour déterminer la précision (ou un majorant de cette précision) en fonction de $n$?

Merci d’avance.